单位脉冲（冲激）响应与频率响应

article/2025/11/10 20:36:05

1.线性时不变系统

（1）线性系统：满足可加性和比例性（齐次性）的系统。

令y(t)为系统对输入x(t)的响应：

比例性：ay(t)为该系统对ax(t)的响应，其中a为复常数。

可加性： $y_{1}(t)+y_{2}(t)$ 为该系统对 $x_{1}(t)+x_{2}(t)$ 的响应。

（2）时不变系统：令y(t)为系统对输入x(t)的响应，则当输入为 $x(t+t_{0})$ 时，系统的输出为 $y(t+t_{0})$ 的系统。（当然可以通过定义判断一个系统是否为时不变系统，这里介绍另一个常用的方法：把y(t)看成自变量y，x(t)看成因变量x，如果系统可以表示为f(x,y)=0，则一般为时不变系统；如果只能表示为f(x,y,t)=0，这代表该系统输入与输出之间的关系与t有关，不是时不变系统。）

补充：一个特殊的不是时不变系统的例子： $y(t)=x(at);a\neq 0$

2.单位脉冲响应

（1）离散时间线性时不变系统的表示：

$x[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\delta [n-k]$ ;

补充：单位脉冲函数： $\delta [n]=\left\{\begin{matrix} 0,n\neq 0\\ 1,n=0 \end{matrix}\right.$

（2）单位脉冲响应h[n]：

h[n]为系统对单位脉冲函数 $\delta [n]$ 的响应。

（3）卷积和（叠加和）：

根据线性时不变系统的定义可知，若其输入为：

$x[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\delta [n-k]$ ；

则其输出可以看成每一项对应的响应的叠加：

即输出为 $y[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k];(1)$ ，其中h[n-k]为 $\delta [n-k]$ 的响应,满足时不变性质。

该结果也被称为卷积和（叠加和）。由上式可知一个线性时不变系统的单位脉冲响应就可以完全表现出该系统的性质，而输入的不同只是可以看成很多时移后的脉冲信号的叠加和，就像按输入的时间从左到右不断求脉冲响应输出然后叠卷在一起一样得到最终的输出，这也是卷积的由来。

3.单位冲激响应

（1）连续时间线性时不变系统的表示：

$x[t]=\lim_{\Delta \rightarrow 0}\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k\Delta ]\delta [n-k\Delta ]\Delta=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$ ;（可参考离散时间线性不变系统的表示理解）

其中， $\tau =\lim_{\Delta \rightarrow 0}k\Delta ;d\tau =\lim_{\Delta \rightarrow 0}\Delta$ 。

补充：单位冲激函数： $\delta _{\Delta }(t)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\Delta },0\leq t< \Delta \\ 0, \end{matrix}\right.$

（2）单位冲激响应h(t)：

h(t)为系统对单位冲激函数 $\delta _{\Delta }(t)$ 的响应。

（3）卷积积分（叠加积分）：

根据线性时不变系统的定义可知，若其输入为：

$x(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$ ；

则其输出可以看成每一项对应的响应的叠加（积分）：

即输出为 $y(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h (t-\tau )d\tau;(2)$ 。

该结果也被称为卷积积分（叠加积分）。同理，由上式可知一个线性时不变系统的单位脉冲响应就可以完全表现出该系统的性质。

补充：以上关于单位脉冲（冲激）响应都只是概念性的论述，事实上并不是具体求每一个系统的单位脉冲（冲激）响应都很简单，可以看到，一般离散时间线性时不变系统的求解比较简单，但对于一些连续时间线性时不变系统的求解就不一定很方便。所有虽然系统的响应可以通过系统输入与单位脉冲（冲激）响应的卷积求解，但如果我们只是需要得到系统某一输入的输出时，个人建议还是采取直接将输入代入系统方程求解输出，而没必要先求系统的单位脉冲（冲激）响应再求卷积（显得有点多余）。而单位脉冲（冲激）响应更适合用来对特定系统进行性质分析等。

波动存在于我们生活中的许多地方。在实际的系统分析时，输入往往会随着时间出现各种变化，因此有不少系统需要考虑到不同输入波动对系统的影响，或者系统对不同输入波动的响应情况，因此引入了一类分析：频域分析。系统频域分析的方法本文先不详细介绍，下面先引入系统的频率响应。

4.频率响应

（1）线性时不变系统对复指数信号的响应：

复指数信号是一类常见的信号，我们可以分别定义连续时间和离散时间的复指数信号如下：

离散时间复指数信号： $z^{n}$ ；其中z为复数；

连续时间复指数信号： $e^{st}$ ；其中s为复数；

分别带入式1和式2，可得其响应分别为：

$y[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[n-k]h[k]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }z^{n-k}h[k]=(\sum_{k=-\infty }^{+\infty }z^{-k}h[k])z^{n}=H(z)z^{n};(3)$

$y(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h (t-\tau )d\tau=\int_{-\infty }^{+\infty }x(t-\tau )h (\tau )d\tau=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{s(t-\tau )}h (\tau )d\tau=(\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-s\tau }h (\tau )d\tau)e^{st}=H(s)e^{st};(4)$

补充：以上用到了卷积的交换律，在此不在证明。

可以发现，线性时不变系统对复指数信号的响应均可表示为一个只与输入参数有关的系数H(n)（H(s)）与输入 $z^{n}$ （ $e^{st}$ ）的乘积的形式。其中H(n)（H(s)）被称为系统的系统函数。

（2）频率响应

对于以上系统函数，若令s实部为零，即只考虑幅值为1的复指数信号输入，则输入变为 $e^{jwn}$ （ $e^{jwt}$ ），带入式3和4可得：

$H(e^{jw})=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }e^{-jwk}h[k]=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }e^{-jwn}h[n];(5)$

$H(jw)=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-jw\tau }h (\tau )d\tau=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-jwt }h (t )dt;(6)$

式5和6即为该系统的频率响应。

补充：由式5和6可以看到系统的频率响应就是系统单位脉冲（冲激）响应的傅里叶变换。所以当已知系统的单位脉冲（冲激）响应时可直接傅里叶变换得到系统的频率响应。当然对于已知系统，如果只是想得到输出的话，就像刚刚提到的，最方便的方法还是直接把复指数信号当作输入带入系统方程直接求解输出，进而由输出得到系统的频率响应。

而关于频率响应为什么这么定义，这与我们对系统的分析方法有关：如果要分析系统对一个输入信号中不同频率含量的响应，我们一般会先对输入信号进行傅里叶变换拆成无数个复指数信号，分析系统对每一个复指数信号的响应，最后相加获得系统对输入信号的响应。因此系统对不同复指数信号的响应特性的研究自然可以推到每一个可以用傅里叶变化的输入信号的研究中去。

关于频域分析的本质：对于线性时不变系统，其频域中的输出信号（即输出信号的傅里叶变换）等于频率响应乘以输入信号的傅里叶变换。而时域中的输出信号等于单位脉冲（冲激）响应与输入信号的卷积，这也提供输出信号的两种求解方法，你可以在频域进行系统分析，也可以在时域进行系统分析，前者使用频率响应，后者使用单位脉冲（冲激）响应。联系两者的就是傅里叶变换，其实这里的本质为傅里叶变换的一个性质：时域信号卷积相当于频域信号相乘（该性质可通过交换积分顺序证明）。