1 加性高斯色噪声信道

  对于高斯白噪声，不同时刻的样本值是不相关的。为方便，在实际应用中通常将在信号上叠加高斯白噪声，对一些算法性能进行评估。依据评估结果，指导工程设计实现。在实际工程中，高斯白噪声的不相关性并一定能够很好近似反映实际使用的噪声环境。这会使得利用高斯白噪声获得的性能评估结果通常是实际工程问题的过估计。本节将从接收通道的噪声简化模型出发，分析加性高斯噪声的相关性，讨论实际工程中常用的高斯色噪声模型。

1.1 接收通道噪声简化模型

  在实际应用中，高斯白噪声通常认为是接收端各多级混频器和滤波器(通常为两级混频)等器件产生的热噪声，如下图所示。该噪声在A/D变换器之前的抗混叠滤波器$g(t)$的输入端通常认为是白噪声。

若抗混叠滤波器的输入端的高斯白噪声为$w(t)$，其均值为0，方差为${\sigma }^2$。将该噪声通过一个冲激响应为$g(t)$的抗混叠滤波器，其输出$v(t)$仍为高斯噪声，可表示为
$$v(t)=g(t)\otimes w(t)$$
其中，⊗为卷积运算。将$v(t)$进行离散采样，采样周期为$T_s=1⁄F_s$，$F_s$为中频采样频率，可得离散信号$v(n)$。

  离散信号$v(n)$进行数字下变频，可得
$$v_b(n)=v_I(n)+j{v}_Q(n)=v(n)e^{-j{\omega }_{IF}n}\otimes h(n)$$
其中，${\omega }_{IF}$为中频数字角频率。它与中频模拟角频率的关系为
$${\omega }_{IF}={\Omega }_{IF}/F_s$$
其中，${\Omega }_{IF}$为抗混叠滤波器模拟中心频率。$h(n)$为低通滤波器。将数字下变频输出进一步展开，可得
$$v_b(n)=v(n)e^{-j{\omega }_{IF}n}\otimes h(n)=\sum _{m}h(m)v(n-m)e^{-j{\omega }_{IF}(n-m)}$$
因离散信号$v(n)$可表示为
$$v(n)=\sum _{k}w(k)g(n-k)$$
由此可得
$$v_b(n)=\sum _{m}h(m)e^{-j{\omega }_{IF}(n-m)}\sum _{k}w(k)g(n-m-k)$$
$$=\sum _{k}w(k)e^{-j{\omega }_{IF}k}\sum _{m}h(m)e^{-j{\omega }_{IF}(n-m-k)}g(n-m-k)$$

令$g_{LF}(n)=g(n)e^{-j{\omega }_{IF}n}$，$w_{LF}(n)=w(n)e^{-j{\omega }_{IF}n}$，则有
$$v_b(n)=\sum _k{w}_{LF}(k)\sum _{m}h(m)g_{LF}(n-m-k)$$
若令
$$h_{LF}(n)=g_{LF}(n)\otimes h(n)=\sum _{m}h(m)g_{LF}(n-m)$$
则有
$$v_b(n)=\sum _k{w}_{LF}(k)h_{LF}(n-k)=w_{LF}(n)\otimes h_{LF}(n)=w_{LF}(n)\otimes [g_{LF}(n)\otimes h(n)]$$
  经上述推导，可得接收通道噪声的简化模型如下图所示。前述抗混叠滤波器的输入端高斯白噪声的等效为复高斯白噪声$w_{LF}(t)$，抗混叠滤波器与数字下变频等效为实低通滤波器$h_{LF}(n)$，简化模型输出$v_b(n)=v_I(n)+j{v}_Q(n)$为复噪声。

  为接下来的讨论方便，省略前述简化模型的下标，如下图所示。注意，该图中，$v(n)=v_I(n)+j{v}_Q(n)$。