如何理解矩阵特征值

（下面的回答只涉及实数范围）。

关于特征值、特征向量可以讲的确实很多，我这里希望可以给大家建立一个直观的印象。

先给一个简短的回答，如果把矩阵看作是运动，对于运动而言，最重要的当然就是运动的速度和方向，那么（我后面会说明一下限制条件）：

特征值就是运动的速度
特征向量就是运动的方向

既然运动最重要的两方面都被描述了，特征值、特征向量自然可以称为运动（即矩阵）的特征。

注意，由于矩阵是数学概念，非常抽象，所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的，在现实不同的应用中有不同的指代。

下面是详细的回答，我会先从几何上简单讲解下特征值、特征向量的定义指的是什么，然后再来解释为什么特征值、特征向量会是运动的速度和方向。

1 几何意义

说明下，因为线性变换总是在各种基之间变来变去，所以我下面画图都会把作图所用的基和原点给画出来。

在 $\vec{i_{}},\vec{j_{}}$ 下面有个 $\vec{v_{}}$ ：

随便左乘一个矩阵 $A$ ，图像看上去没有什么特殊的：

我调整下 $\vec{v_{}}$ 的方向，图像看上去有点特殊了：

可以观察到，调整后的 $\vec{v_{}}$ 和 $A\vec{v_{}}$ 在同一根直线上，只是 $A\vec{v_{}}$ 的长度相对 $\vec{v_{}}$ 的长度变长了。

此时，我们就称 $\vec{v_{}}$ 是 $A$ 的特征向量，而 $A\vec{v_{}}$ 的长度是 $\vec{v_{}}$ 的长度的 $\lambda$ 倍， $\lambda$ 就是特征值。

从而，特征值与特征向量的定义式就是这样的：

其实之前的 $A$ 不止一个特征向量，还有一个特征向量：

容易从 $A\vec{v_{}}$ 相对于 $\vec{v_{}}$ 是变长了还是缩短看出，这两个特征向量对应的特征 $\lambda$ 值，一个大于1，一个小于1。

从特征向量和特征值的定义式还可以看出，特征向量所在直线上的向量都是特征向量：

你可以自己动手试试，可以改变 $\vec{v_{}}$ 的位置，以及矩阵 $A$ 的值（特征空间会随着矩阵改变而改变）：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

其中有些值构成的矩阵没有画出特征空间，可能是因为它的特征值、特征向量是复数，也可能是不存在。

下面就要说下，特征值、特征向量与运动的关系

2 运动的速度与方向

2.1 从调色谈起

我有一管不知道颜色的颜料，而且这管颜料有点特殊，我不能直接挤出来看颜色，只能通过调色来观察：

为了分辨出它是什么颜色（记得它只能通过调色来辨别）：

因为反复混合之后，这管颜料的特征就凸显了出来，所以我们判断，这管颜料应该是蓝色。

说这个干什么？矩阵也有类似的情况。

2.2 矩阵的混合

一般来说，矩阵我们可以看作某种运动，而二维向量可以看作平面上的一个点（或者说一个箭头）。对于点我们是可以观察的，但是运动我们是不能直接观察的。

就好像，跑步这个动作，我们不附加到具体的某个事物上是观察不到的，我们只能观察到：人跑步、猪跑步、老虎跑步、......，然后从中总结出跑步的特点。

就好像之前举的不能直接观察的颜料一样，要观察矩阵所代表的运动，需要把它附加到向量上才观察的出来：

似乎还看不出什么。但是如果我反复运用矩阵乘法的话：

就像之前颜料混合一样，反复运用矩阵乘法，矩阵所代表的运动的最明显的特征，即速度最大的方向，就由最大特征值对应的特征向量展现了出来。

至于别的特征值对应的是什么速度，我后面会解释，这里先跳过。

可以自己动手试试，我把 $\lambda$ 值也标注出来了，可以关注下最大 $\lambda$ 值对于运动的影响：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

顺便说下，对于复数的特征值、特征向量，在上面就没有画出特征空间，但可以观察到反复运用矩阵乘法的结果是围绕着原点在旋转。关于复数特征值和特征向量这里就不展开来说了。

2.3 烧一壶斐波那契的水

上面说的运动太抽象了，我来举一个具体点的例子：烧水。

比如说我想烧一壶水，水的温度按照斐波那契数列升高，即下一秒的温度 $T_{t+1}$ 与当前温度 $T_{t}$ 以及上一秒的温度 $T_{t-1}$ 的关系为：

$T_{t+1}=T_{t}+T_{t-1}$

要继续计算下去，我只需要 $T_{t+1}$ 以及 $T_{t}$ 就可以继续算下去。因此我可以写成下面的式子：

$\begin{bmatrix}T_{t+1}\\T_{t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}T_{t}\\T_{t-1}\end{bmatrix}$

因此烧水这个运动我们可以抽象为矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$ ，反复进行这个运动就可以烧开这壶水，根据斐波那契数列，让我们从 $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 点开始（感兴趣的话，可以通过之前的互动调整下参数，可以得到下面的结果）：

就可以看出，这壶水的温度会沿着 $A$ 的特征值最大的特征向量方向飞快增长，我估计要不了多久，在理想的情况下，温度就会突破百万度、千万度、亿万度，然后地球说不定就爆炸了。我们就说这个矩阵不稳定。

所以说，不要烧斐波那契的水。

实际上历史也是这样，欧拉在研究刚体的运动时发现，有一个方向最为重要，后来拉格朗日发现，哦，原来就是特征向量的方向。

我们知道特征值、特征向量有什么特点之后，下一步就想知道，为什么会这样？

3 特征值分解

下面讲解要用到矩阵乘法和相似矩阵的知识，我就不啰嗦了，可以参看我的回答：行列式的本质是什么？以及相似矩阵是什么？

我们知道，对于矩阵 $A$ 可以对角化的话，可以通过相似矩阵进行下面这样的特征值分解：

$A=P\Lambda P^{-1}$

其中 $\Lambda$ 为对角阵， $P$ 的列向量是单位化的特征向量。

说的有点抽象，我们拿个具体的例子来讲：

对于方阵而言，矩阵不会进行维度的升降，所以矩阵代表的运动实际上只有两种：

旋转
拉伸

最后的运动结果就是这两种的合成。

我们再回头看下刚才的特征值分解，实际上把运动给分解开了：

我们来看看在几何上的表现是什么，因此相似矩阵的讲解涉及到基的变换，所以大家注意观察基：

左乘 $P=\begin{bmatrix}\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}$ ：

如果旋转前的基不正交，旋转之后变为了标准基，那么实际会产生伸缩，所以之前说的正交很重要。

继续左乘对角矩阵 $\Lambda=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}$ ：

相当于，之前的旋转是指明了拉伸的方向，所以我们理解了：

特征值就是拉伸的大小
特征向量指明了拉伸的方向

回到我们之前说的运动上去，特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向，而其余方向的运动就由特征向量方向的运动合成。所以最大的特征值对应的特征向量指明了运动速度的最大方向。

但是，重申一下，上面的推论有一个重要的条件，特征向量正交，这样变换后才能保证变换最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是变化最大的方向，比如：

所以我们在实际应用中，都要去找正交基。但是特征向量很可能不是正交的，那么我们就需要奇异值分解了，这里就不展开了。

大家可以再回头去操作一下之前的动图，看看不正交的情况下有什么不一样。

左乘 $P^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}$ ：

说明下，如果大家把这个文章和之前提到的我写的“相似矩阵”的文章参照来看的话，“相似矩阵”那篇文章里面我把图像的坐标系换了，所以看着图像没有变换（就好像直角坐标系到极坐标系下，图像是不会变换的）。而这里我把图像的坐标系给旋转、拉伸了，所以看着图像变换了（就好像换元，会导致图像变换）。这其实是看待矩阵乘法的两种视角，是等价的，但是显示到图像上就有所不同。

4 特征值、特征向量的应用

4.1 控制系统

之前的烧水系统是不稳定的。

$\lambda = 1$ 的，系统最终会趋于稳定：