直观印象

如果把矩阵看作是运动，对于运动而言，最重要的是运动的速度和方向，那么：

• 特征值就是运动的速度
• 特征向量就是运动的方向

既然运动最重要的两方面都被描述了，特征值、特征向量自然可以称为运动（矩阵）的特征。

注意：由于矩阵是数学概念，非常抽象，所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的，在现实中有不同的替代。

1 几何意义

在后面的介绍中，画图都会把作图所用的基和原点给画出来。

在$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$为基的空间里有向量$\overrightarrow{v}$：

随便左乘一个矩阵A，此时图像如下所示，可以看到没有什么特殊：

这时如果调整下$\overrightarrow{v}$的方向，图像看上去就有点特殊了

我们可以观察到，调整后的 $\overrightarrow{v}$ 和 $A\overrightarrow{v}$ 在同一根直线上，只是 $A\overrightarrow{v}$ 的长度相对 $\overrightarrow{v}$ 变长了。

此时，我们称 $\overrightarrow{v}$ 是A的特征向量，而 $A\overrightarrow{v}$ 的长度是 $\overrightarrow{v}$ 的长度的 $\lambda$ 倍，$\lambda$ 就是特征值。从而，特征值和特征向量的定义如下：

其实之前的A不止一个特征向量，还有另一个特征向量：

可以看出此时特征值小于1，所以两个特征向量对应的特征值一个大于1一个小于1。

从特征向量和特征值的定义还可以看出，特征向量所在直线上的向量都是特征向量。

接下来介绍下特征值、特征向量与运动的关系。

2 运动的速度与方向

2.1 矩阵的混合

一般来说，矩阵我们可以看作某种运动，而二维向量可以看作平面上的一个点（或者一个箭头）。对于点我们是可以观察的，但是运动我们无法直接观察。

要观察矩阵代表的运动，需要把它附加到向量上才能观察出来。

首先进行一次乘法：

现在还看不出明显的规律，但如果我们反复运用矩阵乘法：

这个时候矩阵所代表的运动的最明显的特征，即速度最大的方向，就由最大特征值对应的特征向量展现了出来。（别的特征值对应的是什么速度，后面解释，这里先跳过）

2.2 以一个例子来理解

斐波那契数列如下：

$$T_{t+1}=T_t+T_{t-1}$$

要继续计算下去，我们只需要$T_{t+1}$以及$T_t$，因此我们可以改写成如下的式子：

$$\left[\begin{array}{c}{T}_{t+1}\\ T_t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{T}_t\\ T_{t-1}\end{array}\right]$$

这里，我们就将斐波那契变换这种变换（也可以理解为运动）抽象为了矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，根据斐波那契数列，让我们从$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$开始，整个变化过程如下：

此时我们可以看出，点会随着$A$的特征值最大的特征向量的方向变化。

3 特征值分解

待补充

我们知道，如果矩阵A可对角化的话，可以通过相似矩阵进行如下的特征值分解：

$$A=P\Lambda P^{-1}$$

其中 $\Lambda$ 为对角阵，$P$ 的列向量是单位化的特征向量，以下是一个具体的例子：

对于方阵而言，矩阵不会进行维度的升降，所以矩阵代表的运动实际上只有两种：

• 旋转
• 拉伸

最后的运动结果就是这两种的合成。

我们回头看下刚才的特征值分解，实际上把运动給分解开了：

然后看下在几何上的表现，因为相似矩阵的介绍涉及到基的变换，所以我们需要注意观察基：

假如存在这样一对单位特征向量，然后有着在这样一对特征向量下的正方形

此时左乘$P=\left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$，可以得到：

如果旋转前的基不正交，那么旋转后变成了标准基（？），实际会产生伸缩，所以之前说的正交很重要。

继续左乘对角矩阵 $\Lambda =\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$：

相当于，之前的旋转指明了拉伸的方向，所以我们理解了：

• 特征值就是拉伸的大小
• 特征向量指明了拉伸的方向

回到之前所说的运动，特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向，而其余方向的运动就由特征向量方向的运动合成（？）。所以最大的特征值对应的特征向量指明了运动速度的最大方向。

但是注意，上面的推论有一个重要的条件，这个条件就是特征向量正交，这样变换后才能保证变换最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是变化最大的方向（？），比如：

所以我们在实际应用中，都要去找正交基。但是特征向量很有可能不是正交的，那么我们就需要奇异值分解（在这里不展开）。

https://www.matongxue.com/madocs/228.html

1.5 关于特征值的计算

已知n阶矩阵A的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$，$p(x)$为x的多项式，则P(A)的特征值为：

$p({\lambda }_1),p({\lambda }_2),...,p({\lambda }_n)$