十七讲14常数项级数的敛散性

article/2025/9/27 1:40:40

高数十七讲专题十四常数项级数的敛散性

1、级数的概念

2、级数的性质

①数乘 ——看是否收敛

②加减 ——看是否收敛。收敛±发散=发散，发散±发散=不确定。

③在级数中去掉、加上或改变有限项——和原级数同敛散。

④级数收敛→加括号以后收敛。

加括号以后收敛，则原级数不一定收敛；

加括号以后发散→原级数一定发散；

⑤已知级数收敛，则。要证明级数发散可以通过证明：。

eg.交错级数用莱布尼茨准则，若级数不是从第1项开始单调减的，而是从第5项开始单调减的，不影响敛散性。使用性质③

eg.(1-1)+(1-1)+(1-1)+……收敛,1-1+1-1+1-1+……不收敛。使用性质④推论

由，不能推得级数收敛。eg. $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0$ ,但级数 $\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 不收敛。性质⑤不可逆向

3、级数的审敛准则

正项级数

基本定理：正项级数收敛 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 部分和数列Sn有上界。(原理：极限存在准则2单调有界准则，显然 $S_{n}-S_{n-1}=u_{n}\geqslant 0$ ，Sn单调增)

①比较法：比较两正项级数通项大收敛则小收敛，小发散则大发散。

②比较法的极限形式：两正项级数通项之比取极限

分子和分母同阶/等价，分子分母同敛散；

分子比分母小，大收敛则小收敛，小发散则大发散。

分子比分母大，大收敛则小收敛，小发散则大发散。

③比值法：同一个级数后项比前项取极限。

④根值法：同一个级数通项开n次方取极限

⑤积分判别法：若f(x)在[1,+∞)上单调减、非负，连续，且 $U_{n}=f(n)$ ，则级数与反常积分同敛散。

$\bullet$ 【比较法的特点：找同阶/等价无穷小。同阶/等价就可以使= $l$ ，0＜ $l$ ＜+∞，分子分母同敛散】

比较法需要找其他的级数，非最简便，优化后：可通过级数本身判断敛散性→①比值法 ②根值法

$\bullet$ 比值法和根值法：相当于把正项级数近似看作等比级数，和，ρ看作公比q(n)的极限。

$\bullet$ 积分判别法用的较少，常用于正项级数 $\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{nln^{\alpha }n}$ 【 $\alpha > 1$ 收敛， $\alpha \leqslant 1$ 发散】和正项级数 $\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}$ 【 $p> 1$ 收敛， $p\leqslant 1$ 发散】.

$\bullet$ 正项级数的通项中没有出现级数三巨头——用比较法和比较法的极限形式。选用一个p级数或等比级数作为比较基准。

正项级数的通项中出现级数三巨头【 $a^{n}$ 、 $n^{n}$ 、 $n$ !】时—— $n$ !用比值法， $a^{n}$ 、 $n^{n}$ 用根值法。

正项级数判定敛散性常用的方法	优点	缺点	使用场景
第一类①比较法②比较法的极限形式	适用面广【比值法和根值法能判定敛散性的级数，比较法和比较法的极限形式都能判定，虽然可能麻烦些】	不方便【要找到一个准确适用的级数作为比较基准】	正项级数的通项中没有出现级数三巨头。选用一个p级数或等比级数作为比较基准
第二类③比值法④根值法	方便【直接用自己本身这个级数，就能判定敛散性】	适用面窄【当ρ=1时无法判定级数敛散性】	正项级数的通项中出现级数三巨头【 $a^{n}$ 、 $n^{n}$ 、 $n$ !】。 $n$ !一般用比值法

正项级数判定敛散性常用的方法

优点

缺点

使用场景

第一类①比较法②比较法的极限形式

适用面广

【比值法和根值法能判定敛散性的级数，比较法和比较法的极限形式都能判定，虽然可能麻烦些】

不方便【要找到一个准确适用的级数作为比较基准】

正项级数的通项中没有出现级数三巨头。

选用一个p级数或等比级数作为比较基准

第二类③比值法④根值法

方便【直接用自己本身这个级数，就能判定敛散性】