交错级数及其审敛法

article/2025/9/27 2:14:25

U_{1}-U_{2}+U_{3}......U_{n} U_{i}\geq 0= \sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n-1}U_{n}, U_{n}\geq 0

称为交错级数

判断下列级数的敛散性

例 1   

\sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}

 

解:U_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}>U_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}},满足条件1。

\lim_{n \to \infty }U_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n}}=0满足条件2，所以 收敛。

例 2

\sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n}cos\frac{1}{n}

\frac{1}{n}=1,1/2,1/3.....<\pi /2

所以 cos\frac{1}{n}都在第一象限，一正一负，所以是交错级数

因为

 \lim_{n \to \infty }cos\frac{1}{n}=1

所以发散 

例3

\sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{lnn}{n}

通过求导判断级数的单调性

 

{f}'(x)=\frac{lnx}{x}=\frac{1-lnx}{x^{2}}

当x>e时，单调递减

即当n\geq 3时，U_{n}\geq U_{N+1}   去掉有限项，改变有限项，增加有限项都不影响整个级数的敛散性

\lim_{n \to \infty }U_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{lnn}{n}=\frac{\infty }{\infty }

洛比达法则

\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n}}{1}=0

所以收敛

例4

判断下列级数是绝对收敛还是条件收敛

\sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{1}{lnn+1}

\sum_{n \to 1}^{\infty }|(-1)^{n+1}\frac{1}{lnn+1}|=\sum_{n \to 1}^{\infty }|\frac{1}{lnn+1}|

比较\frac{1}{lnn+1}  与 \frac{1}{n+1}大小。

即 lnn-n

f(x)=lnx-x 求导

{f}'(x)=\frac{1}{x}-1{f}'(x)<0

因为x\geq 1,所以

\frac{1}{lnn+1}大于\frac{1}{n+1}

因为

\sum_{n \to 1}^{\infty }\frac{1}{n+1}发散，所以\sum_{n \to 1}^{\infty }|\frac{1}{lnn+1}|发散

而\sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{1}{lnn+1}收敛，所以是条件收敛

例5

设\gamma >0,   \sum_{n \to 1}^{\infty }a_{n}^{2} 收敛，则\sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{|a_{n}|}{\sqrt{n^{2}+\gamma }}\leq \frac{1}{2}(a_{n}^{2}+\frac{1}{n^{2}+\gamma })

这里用到均值不等式ab\leq a^{2}+b{\color{Red} }^{2}

a_{n}^{2} 与\frac{1}{n^{2}+\gamma }均收敛，则\sum_{n \to 1}^{\infty }a_{n}^{2}收敛

 

 

 

 

 


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