第四讲 比值、根值和积分审敛法

article/2025/9/27 4:19:11

一，正项级数的比值审敛法

  • 设\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}是正项级数，且\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=l，0\leq l\leq +\infty
  • 若0\leq l< 1，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛
  • 若1< l\leq +\infty，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}发散
  • 若l=1或\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}不存在，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}无法判断敛散性
  • 例题，如图：

二，正项级数的根值审敛法

  • 设\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}是正项级数，且\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}}=l，0\leq l\leq +\infty
  • 若0\leq l< 1，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛
  • 若1< l\leq +\infty，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}发散
  • 若l=1或\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}}不存在，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}无法判断敛散性
  • \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}}
  • \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{a}=1，\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{n}=1
  • 例题，如图：

三，正项级数的积分审敛法

  • 设函数f(x)在区间[1,+\infty )连续，非负，单调递减
  • 则级数\sum_{n=1}^{\infty }f(n)与广义积分\int_{1}^{+\infty }f(x)dx具有相同的敛散性
  • 例题，如图：

四，正项级数的拉阿伯（Raabe）审敛法


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