一、级数性质相关

1. 判敛散性的一个简易方法

针对课本上的级数性质中的某条进一步说明：

级数的数列中的各项同乘一个非零常数，不改变级数的敛散性。（即收敛的仍收敛，发散的仍发散。）

注：在需要判断敛散性时，因为不知道往收敛还是发散的方向证明，所以需要找到相对题干级数更为小发散，或大收敛的级数，最差的情况下要找到两个级数！

在用正项级数比较审敛法的极限形式时，本质上是在看，分子分母上的两个级数通项，在n→∞时，谁是更为高阶的无穷小。在高阶低阶的情况下，与比较审敛法并无差异。但是当二者同阶时，也即两级数的极限是非零常数倍的关系，此时由上可知，敛散性相同。

结合上述对级数性质的说明，可以用这样一个简便的方法。即找到与待判级数通项的同阶的通项，用新找到的级数的敛散性判断，则减少了工作量。

2. 几何级数记忆法

几何级数，就是等比级数，可以结合等比数列求和公式来记忆。公比 q ≥ 1 或 q ≤ -1，首先通项的极限就是∞了，该和不存在。而 -1 <q <1，收敛，此时通项极限是0，且可由公式得出极限。

（引自百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E5%87%A0%E4%BD%95%E7%BA%A7%E6%95%B0）

3. p级数记忆法

课本上是说，p>0的情况，但事实上，p<0显然是有意义的，且通项的极限是∞，因此是发散的。所以可以简单记忆 p>1，收敛，其余都发散。不过大多数教材及文章中，都将p级数归为正项级数，此时又称 “调和级数 ”，所以只讨论了p>0的情况，具体范围如何取，应视题目而定。

（引自百度百科：https://baike.baidu.com/item/p%E7%BA%A7%E6%95%B0）

二、常用例子

1. 选择题，常用的例子整理（这里省略上下标）。

发散： $\sum \frac{1}{nlnn}, \sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ （因为p级数）

收敛（指它本身收敛，而未必绝对收敛）： $\sum (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}$

2. 一个很厉害很好记的级数：

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{a}ln^{b}n}$ ，与它同敛散的反常积分是 $\int_{c}^{+\infty }\frac{dx}{x^{a}ln^{b}n} (c>1)$

其敛散性与a、b有关：

可以想成因为 x 是比 lnx 大许多的无穷大，所以基本上先由它决定敛散性。所以先看a。

a>1, 收敛。a<1, 发散。
a=1，此时看b。
- b>1, 收敛。b<1, 发散。

疑问：级数和反常积分的关系？后面再次复习反常积分时总结。

三、审敛法

在这里放一些总结得比较全的文章，指路链接：

《级数收敛的判别方法（知识汇总）》：https://m.xianjichina.com/news/details_83466.html

《第五讲交错级数、绝对收敛和条件收敛》：https://blog.csdn.net/qq_23940575/article/details/84610895

《P-达朗贝尔判别法及其应用》：https://www.ixueshu.com/document/7ea4c75acbc0c8e9381c0aab81c124ec.html

可以用比值判别法的，用根值判别法一定可以。反之未必。

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2+(-1)^{n}}{2^{n}}$ ，诸如此类带有 C+(-1)^n 的通项，用比值判别法会因为奇偶项而有所不同，比值时而>1，时而<1。但是用根值判别法，便可忽略此项，因为开n次方后分子得1，而分母是2。

四、小结

1. 级数的数列中的各项同乘一个非零常数，不改变级数的敛散性。因此找到与待判级数通项的同阶的通项，二者敛散性相同。

2. 几何级数：-1 <q <1，收敛，其余发散。p级数，p>1，收敛，其余都发散。

3. 常用例子： $\sum \frac{1}{nlnn}, \sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ ， $\sum (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{a}ln^{b}n}$ ， $\int_{c}^{+\infty }\frac{dx}{x^{a}ln^{b}n} (c>1)$ 。

4. 可以用比值判别法的，用根值判别法一定可以。反之未必。