第三讲正项级数的比较审敛法

article/2025/9/27 4:21:47

一，用比较审敛法的原因

二，正项级数

定义： $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=u_{1}+u_{2}++u_{3}+...+u_{n}+...$ ，其中 $u_{n\geq }0$
部分和 $s_{n}$ 为单调递增数列
收敛的充要条件： $s_{n}$ 有上界
推论：若 $s_{n}$ 无界，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=+\infty$
正项级数结合律：发散+发散=发散

三，正项级数的比较审敛法

设 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 是正项级数，且 $0\leq u_{n}\leq v_{n}$ ，（ $n=1,2,3...$ ）
若 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 发散

四，p-级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}$ 的敛散性

定义： $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}=1+\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3^{p}}+...+\frac{1}{n^{p}}+...$ ，（ $p> 0$ ）
当 $0< p\leq 1$ 时： $\frac{1}{n^{p}}\geq \frac{1}{n}$ ，因为 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散，所以 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}$ 也发散
当 $p> 1$ 时： $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}$ 收敛，如图：

五，常用来进行比较的两类正项级数

六，例题

七，比较审敛法的推论

设 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 是正项级数，且 $0\leq u_{n}\leq kv_{n}$ ，（ $k> 0$ ），（ $n=N+1,N+2,N+3...$ ）
若 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 发散

八，比较审敛法的极限形式

设 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 是正项级数
若 $u_{n}$ 和 $v_{n}$ 是同阶无穷小： $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n}}{v_{n}}=l$ ，（ $0< l< +\infty$ ），则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 具有相同的敛散性
补充：若 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n}}{v_{n}}=0$ ，当低阶无穷小级数 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 收敛，则高阶无穷小级数 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 也收敛
因此，只要找到 $u_{n}$ 的同阶（等价）无穷小 $v_{n}$ ，判断 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 的敛散性，就可以知道 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 的敛散性
例题，如图：

九，极限审敛法

设 $u_{n}$ 是正项级数的通项
若 $\lim_{n\rightarrow \infty }n^{p}u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n}}{\frac{1}{n^{p}}}=l$ ，（ $0< l< +\infty$ ）
则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}$ 具有相同的敛散性

十，正项级数的特殊性质

设 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 是正项级数
若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}v_{n}$ 收敛， $\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{u_{n}v_{n}}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}^{2}$ 收敛， $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{u_{n}}}{n}$ 收敛