第一章 信号与系统概述

1.4 系统的概念及分类

1.4.1 系统定义与典型系统举例

1.4.1.1 系统定义

系统(system)：是指若干相互关联的事物组合而成,具有特定功能的整体。 表示如下：

系统的基本作用：对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。

1.4.1.2 系统模型

系统模型：对实际系统的理想化。

1.4.1.3 系统的状态

定义: 系统在任意时刻$t_0$的状态，是指取该时刻最少数目的一组数，这组数连同$t_0$以后的输入足以确定$t>t_0$时刻的输出。 （系统具有记忆能力。系统具有历史结果）

1.4.1.4 典型系统举例

手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统，它们所传送的电波、语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。

1.4.2 系统分类

1.4.2.1 连续系统与离散系统

若系统的输入信号，输出信号都是连续信号，则称该系统为连续时间系统。

若系统的输入信号，输出信号都是离散信号，则称该系统为离散时间系统。

1.4.2.2 动态系统与即时系统

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。含有记忆元件（电容、电感等）的系统都是动态系统；否则称为即时系统或无记忆系统（如电阻电路）。

1.4.2.3 单输入单输出系统与多输入多输出系统

顾名思义。

1.4.2.4 线性系统与非线性系统

1.4.2.4.1 线性性质

线性系统是指满足线性性质的系统。

齐次性：
$$a{f}_1⟶a{y}_1$$

可加性：
$$\begin{array}{clc}{f}_2& ⟶& y_2\\ f_1+f_2& ⟶& y_1+y_2\end{array}$$
线性性：
$$a{f}_1+b{f}_2⟶a{y}_1+b{y}_2$$

$$T[a{f}_1(\cdot )+b{f}_2(\cdot )]=aT[f_1(\cdot )]+bT[f_2(\cdot )]$$

1.4.2.4.2 动态线性系统的判定条件

动态系统的响应不仅与激励 { f ( ⋅ ) } \{ f (·) \} {f(⋅)}有关，而且与它过去的状态 { x ( 0 ) } \{x(0)\} {x(0)}有关。即系统的完全相应可分解为两部分——仅仅由输入产生的（零状态）响应和仅仅由状态产生的（零输入）响应，即具有可分解性。

• 完全响应：
  y ( ⋅ ) = T [ { f ( ⋅ ) } , { x ( 0 ) } ] , f 为 输 入 ， x 为 状 态 y (·) = T [\{ f(·) \},\{x(0)\}],f为输入，x为状态 y(⋅)=T[{f(⋅)},{x(0)}],f为输入，x为状态

• 零状态响应：

y z s ( ⋅ ) = T [ { f ( ⋅ ) } , { 0 } ] y_{zs}(·) = T [\{ f(·) \}, \{0\}] yzs​(⋅)=T[{f(⋅)},{0}]

• 零输入响应：

y z i ( ⋅ ) = T [ { 0 } ， { x ( 0 ) } ] y_{zi}(·) = T [ \{0\}，\{x(0)\}] yzi​(⋅)=T[{0}，{x(0)}]

当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：

• 可分解性(一个响应可分解为零输入与零状态)：
  $$y(\cdot )=y_{zs}(\cdot )+y_{zi}(\cdot )$$
• 零状态线性(状态为0，输入的线性组合等于其响应的线性组合)：
  T [ { a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) } , { 0 } ] = a T [ { f 1 ( ⋅ ) } , { 0 } ] + b T [ { f 2 ( ⋅ ) } , { 0 } ] T[\{af_1(t) +bf_2(t)\}, \{0\}]=aT[\{f_1(·)\},\{0\}]+bT[\{f_2(·)\},\{0\}] T[{af1​(t)+bf2​(t)},{0}]=aT[{f1​(⋅)},{0}]+bT[{f2​(⋅)},{0}]
• 零输入线性(输入为0，状态的线性组合等于其响应的线性组合)：
  T [ { 0 } , { a x 1 ( 0 ) + b x 2 ( 0 ) } ] = a T [ { 0 } , { x 1 ( 0 ) } ] + b T [ { 0 } , { x 2 ( 0 ) } ] T[\{0\},\{ax_1(0) +bx_2(0)\}]=aT[\{0\},\{x_1(0)\}] +bT[\{0\},\{x_2(0)\}] T[{0},{ax1​(0)+bx2​(0)}]=aT[{0},{x1​(0)}]+bT[{0},{x2​(0)}]

1.4.2.5 时变系统与时不变系统

1.4.2.5.1 时不变性质

时不变系统：系统输入延迟多少时间，其零状态响应也相应延迟多少时间。系统不随时间变化

时不变性：$f\left(t-t_d\right)⟶y_{zs}\left(t-t_d\right)$

T [ { 0 } ， f ( t − t d ) ] = y z s ( t − t d ) T[\{0\}，f(t - t_d)] = y_{zs}(t - t_d) T[{0}，f(t−td​)]=yzs​(t−td​)

以灯泡开关为例。昨天，你把开关一开，灯亮了；今天，开关一开，灯也亮了就是时不变，如果灯没亮，就是时变。

1.4.2.5.2 时不变的直观判断方法

若$f(\cdot )$前出现变系数，或有反转、展缩变换，则该系统为时变系统。

1.4.2.5.3 LTI连续系统的微分特性和积分特性

线性时不变(Linear Time-Invariant)系统，简称LTI系统。

(1)微分特性：
$$若f(t)\to y_{zs}(t)，则f^{\prime }(t)\to y_{zs}^{\prime }(t)$$

(2)积分特性：
$$若f(t)\to y_{zs}(t)，则{\int }_{-\infty }^{t}f(x)dx={\int }_{-\infty }^t{y}_{zs}(x)dx$$

1.4.2.6 因果与非因果系统

定义
因果系统是指零状态响应不会出现在激励之前的系统。

即对因果系统，当$t<t_0$，$f(t)=0$时，有$t<t_0$，$y_{zs}(t)=0$

如下列系统均为因果系统：
$$y_{\mathrm{z}\mathrm{s}}(t)=3f(t-1)y_{zs}(t)={\int }_{-\infty }^{t}f(x)dx$$

而下列系统为非因果系统（还没开开关，仪器就开始工作）：
$$（1）y_{\mathrm{z}\mathrm{s}}(t)=2f(t+1)\text{ 令 }t=1\text{ 时, }\text{ 有 }{y}_{\mathrm{z}\mathrm{s}}(1)=2f(2)$$

$$（2）y_{\mathrm{Z}\mathrm{s}}(t)=f(2t)\text{ 令 }t=1\text{ 时 },\text{ 有 }{y}_{\mathrm{z}\mathrm{s}}(1)=f(2)$$

$\epsilon (t)表示：t>0$
$\epsilon (t-1)表示：t>1$

1.4.2.7 稳定系统与不稳定系统

一个系统，若对有界的激励$f(\cdot )$所产生的零状态响应$y_{zs}(\cdot )$也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即若$|f(\cdot )|<\infty$，其$|y_{zs}(\cdot )|<\infty$，则称该系统是稳定的。

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟