信号与系统概述

写在前面：
自己也感觉最近基础类课程开了好多坑…因为发现未来研究领域跟数字信号处理也脱离不了关系，打算从《信号系统与线性分析》开始慢慢往后补；大二下期的时候学习过了这门课，但其实现在回过头来知识也不剩多少了，所以打算从头再来一遍~

我是用以前上课用的吴大正老师主编的教材以及B站上配套视频来学习，基本一篇博文对应一个章节的内容(根据内容量有变通)

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【学习思路】
课程是为了实践与应用服务的，但是我们在学习的过程中，为了保证理解层次由浅及深，往往会对内容进行布局和重组；在这个过程，始终厘清这门课程的主线有助于自身建立关于这门课程的思维导图。

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信号的分类

从不同的分类角度来理解信号的意义

• 确定与随机
• 连续与离散
• 周期与非周期
• 能量与功率
• 因果与非因果

1. 确定与随机

①确定(规则)信号：可以用确定的函数（既可以是时间函数，也可以是空间函数）表示的信号；当给定某一自变量值，该类信号会有相对应的确定的值。

②随机信号：不能用确切的函数描述，只可能知道它的统计特性，比如概率。信号的随机性实质上就是刻画了信号传输过程中存在的不确定性（比如通信系统中守信者在收到消息之前，对信息源传来的消息总是不确定的）或者说不可预知性（信号传输和处理过程中难免要收到各类干扰和噪声的影响，这些情况总是不可能完全获知的）。
e.g.电子系统中起伏的热噪声、雷电干扰信号

以下讲述信号的分类，我们都采用确定信号作为范本（因为有确定的函数表达式，更方便）。但是确定信号和随机信号的分类与分析方法是共通的，只要把确定信号中的“确定量”用随机信号中的“统计量”替代即可。

这也告诉我们——
研究随机信号要用概率、统计的观点和方法；严格来说生活实践中经常遇到的信号一般都是随机信号，但是对于确定信号的研究依然是必要的，因为它是一种理想化的模型，也是研究随机信号的基础。

2. 连续与离散

上文我们讲过信号的函数定义域可以是时间、空间、频率等等，以下我们统一对“时间”信号进行讨论，因此所谓的连续（离散）信号又称为连续时间（离散时间）信号。

①连续时间信号：在连续时间范围内(-∞<t<+∞)有定义的信号，若函数值也是连续的，则常称为模拟信号

②离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，若函数值的取值为规定的数值，则常称为数字信号

注意这里不要混淆【数字信号】的定义，广义的数字信号就是函数值的取值只能取为规定数值的信号，但是我们通常讨论的数字信号其实是离散数字信号，也就是对离散信号进行了量化之后的结果。

• 【序列信号的表示形式】
  
• 【离散信号的引出】
  离散信号的提出也是为了计算机的处理，需要将连续的信号进行采样和量化，再用计算机对其进行处理。

3. 周期与非周期
（1）定义：周期信号与非周期信号

（2）周期信号的周期
①连续周期信号的周期

a. 单独的连续周期信号
连续周期信号可以表示为以下形式，其中T为周期
$$f(t)=f(t+mT),m=0,\pm 1，...$$

b. 连续周期信号的合成
当两个周期信号的周期比值为有理数时，该两个周期信号的和依然是周期信号（因为该两个信号的周期一定存在一个最小公倍数）

②离散周期信号的周期

a. 单独的离散周期信号
离散周期信号可以表示为以下形式，其中N为周期
$$f(k)=f(k+mN),m=0,\pm 1，...$$

【有关正弦信号的周期结论】
对于一个形如f(k) = sin(βk)的正弦函数，其是否为周期信号取决于β的取值：

推导：

b. 离散周期信号的合成
离散周期信号的合成也和连续周期信号的合成满足相同的规则，先要判断单个离散信号是否为周期信号。

③重要结论

• 连续正弦信号一定是周期信号，但是正弦序列不一定是周期序列
• 两个连续的周期信号之和不一定是周期信号，但是两个正弦序列之和一定是周期序列。

因为两个序列要满足“周期性”这一特点，其就已经满足2π/β是有理数的特点了，那么自然其角频率之比也一定是有理数。

4. 能量和功率

首先要自己思考一个问题——为什么会产生能量？
可以设想一个单位电阻的模型，在其两端加上电压信号（或者加上一个电流信号，两者是等价的），那么该电阻上必然就会有能量的损失。

（1）信号的能量和功率

【连续信号】

进一步理解，假设对一个单位电阻施加一个f(t)的信号，那么可知该电阻上的瞬时功率为[f(t)]²,给定一个时间参考区间(-a,a)：

读者可以借助有限区间到无穷区间的过渡来理解信号能量与功率的定义。

【离散信号】

（2）能量信号与功率信号

对于能量有限信号，我们通过比较不同信号的能量大小就可以对信号进行分析比较；

但是对于功率有限信号，其能量都是无穷大的（比如不同的正弦信号），此时从能量的角度无法对信号进行区分，因此需要分析其单位时间内产生的能量——功率有限信号。

同样地，对于离散信号，同样有能量(功率)信号的定义

（3）重要结论

• 时限信号（仅在有限的时间区间内不为零）为能量信号
• 周期信号属于功率信号
• 非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号
• 有些信号既不是能量信号，也不是功率信号，如f(t) = e^t，这类信号不在我们的研究范围之内。

5. 因果与反因果

我们在日常生活中常对因果信号进行研究，考察某一信号的加入会对系统产生什么样的影响;

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信号的运算

在本节描述信号的运算时，我们会使用f(·)符号来表示信号f既可以是离散信号f(k)，又可以是连续信号f(t)。

• 信号的加减乘运算
• 信号的反转
• 信号的平移
• 信号的尺度变换（信号的复合运算）

1. 加(减)法与乘法

f₁(·)和f₂(·)的加减乘运算指同一时刻两信号之值对应的加减乘运算。

2. 反转

将信号f(t)[或f(k)]中的自变量t(或k)换为-t(或-k)，也就是将信号图以纵坐标为轴反转180°

3. 平移

对于连续信号f(t)，若有常数t₀>0，延时信号f(t-t₀)是将原信号沿t轴正方向平移t₀时间，而f(t+t₀)是将原信号沿着t轴负方向平移t₀时间。

对于离散信号f(k)，若有整常数k₀>0，延时信号f(k-k₀)是将原序列沿k轴正方向平移k₀单位，而f(k+k₀)是将原序列沿着k轴负方向平移k₀单位。

【平移与反转运算的组合】
通过将平移和反转运算结合，就可以得到形如f(-t-t₀)和f(-k-k₀)这样的信号，但要注意平移和反转的先后顺序会对最后结果产生影响：

4. 尺度变换

对信号f(t)的横坐标的尺寸进行展宽或压缩（统称为尺度变换），则可用变量at（a≠0）来替代原信号中的t，从而得到信号f(at)。

• 当a>1时，信号f(at)是将原信号f(t)以原点(t=0)为基准，沿着横轴压缩到原来的1/a
• 当0<a<1时，信号f(at)是将原信号f(t)以原点为基准，沿着横轴拓宽至1/a倍

因为当a<0时，可以看做是先对信号进行尺度变换得到f(|a|t)，再对其进行反转；因此这里我们只讨论a>0的情况。

p.s. 对离散信号f(k)通常不讨论其尺度变换，因为f(ak)只有当ak为整数的时候，才不至于丢失原信号中的信息。

【从信号f(t)变换得到信号f(at+b)，a≠0】
对信号f(t)进行平移、反转和尺度变换可以得到形如f(at+b)的信号；同样要注意各变换的作用顺序对结果会产生影响

以上对于三种运算进行排列组合，会得到3x2=6种运算顺序；
但更推荐【平移-尺度-反转】或者【平移-反转-尺度】的顺序，这样可以更加直观地得到“应该往哪个方向平移多少单位”，避免平移运算受到反转或尺度的影响。

【从信号f(at+b)变换得到信号f(t)】
上一个问题的逆问题，推荐顺序为【反转-尺度-平移】或者是【尺度-反转-平移】

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阶跃函数与冲激函数

在《信号与系统》这门课程中，阶跃函数和冲激函数是两个很重要的基本信号，它们区别于描述自变量与因变量之间数值关系的普通函数，是用于考察物理量在空间或时间坐标上集中某一点的表现，称为奇异函数。

所谓【集中于一点的物理现象】，比如说是质量集中于一点的密度分布，作用时间趋于零的冲击力，宽度趋于零的电脉冲…

阶跃函数

1. 定义与产生
构造得到的函数序列γ_n(t)是一个在区间(-∞，∞)上都有定义的可微函数，在区间(-1/n,1/n)上直线上升，斜率为n/2，γ_n(0) = 1/2。

当n增大时，γ_n(t)在区间(-1/n,1/n)的斜率会逐渐增大，在t = 0处的函数值依然为1/2；
当n→∞时，函数γ_n(t)在t = 0处由0立即跃变到1，斜率变为无穷大，但是在t = 0处的函数值仍然认为是1/2.

极限运算下得到的这个函数就称作是(单位)阶跃函数。

2. 性质

冲激函数

基础概念

1. 定义与产生
在讲述阶跃函数时我们定义了一个函数序列γ_n(t)，该函数对应的导数也是一个函数序列P_n(t)，是幅度为n/2，宽度为2/n的矩形脉冲。

当n增大的时候，P_n(t)的幅度增大而宽度减小，但矩形框下的面积总和依然为1；
当n→∞时，P_n(t)的宽度趋于0，而幅度趋于无限大，但其强度(矩形框下的面积总和)依然为1.
2. 冲激函数与阶跃函数的关系
一言以蔽之，积分与导数的关系。

3. 冲激函数的作用

在信号处理的领域，我们碰到的信号形式往往不满足高等数学各种分析中所要求的的“连续可微”等性质，引入奇异函数方便我们以统一的观点和运算来处理这些信号，如利用冲激函数表示间断点的导数值。

广义函数定义

1. 广义函数的定义

【普通函数与广义函数的对应关系】

2. 冲激函数的广义函数定义
“不管函数的具体形式，只要满足取样特性，都能看做是一个冲激函数”

冲激函数是很理想的一个信号，在现实生活中我们用逼近的思想来拟合其“取样特性”。

冲激函数的特性

1. 取样性
（1）与δ(t)相乘

p.s. 取样性质的积分形式也就是冲激函数的广义函数定义的形式。

【例题练习】

（2）与δ(t-a)相乘
对冲激函数δ(t)进行平移，相当于有意义的取样点从t=0移动到t=a。

p.s. 从考点的角度来说，上图中形如第二个例题那样的计算题很容易出在考卷上，通常我们需要分清楚积分变量，找到δ函数的有意义点，然后对这个点是否落在积分区间内进行讨论，得到的结果式子也往往是一个分段式。
尤其要注意的是，如果结果以t>t₀为界的话，那么结果可以借助阶跃函数ε(t-t₀)进行表示：

2. 冲激偶
（1）一阶导数

（2）n阶导数

冲激函数的尺度变换

1. δ(at)的定义

对于常用的结论δ(at) = δ(t)/|a|，意味着对于冲激函数进行尺度伸缩时，该信号的强度也会相应扩大或缩小。

2. 推广结论

p.s.在运算时看到积分限是（-∞，t）这样的变上限积分时，不要忘记δ(t)和ε(t)之间的导数积分关系，δ’(t)和δ(t)之间的导数积分关系。

单位脉冲(和阶跃)序列

前面我们讨论了阶跃函数和冲激函数，从而引入了连续的阶跃信号ε(t)和冲激信号δ(t)；
同样地，在离散信号中，我们同样也可以定义脉冲序列和阶跃序列。

1. 单位脉冲序列

2. 单位阶跃序列

3. 阶跃序列与脉冲序列的关系

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系统描述

系统定义

下述给出的定义都是描述性的，较为抽象，读者以理解为主。

1. 系统的定义

2. 系统的模型

3. 系统状态

如果一个系统只是简单地给定某个具体的输入，就会得到确定的某个输出，那这就是一个很简单的不带有记忆性的系统，但很多时候系统的输出不仅取决于给定的输入，其“记忆性”的相关因素，我们称之为系统的状态。

系统分类与特性

1. 线性性

（1）静态线性系统：满足线性性质的系统就是线性系统

所谓线性性就是【输入的线性组合产生响应的线性组合】

（2）动态线性系统
①动态系统的定义

系统的响应不仅与输入信号{f(·)}有关，与过去的状态{x(0)}也有关的系统称为记忆系统；更通俗易懂地判断，可以说含有记忆元件（比如或电容或者电感等）的系统就称为动态系统。

②动态系统的线性判定
一言以蔽之，完全响应满足分解特性，且零输入(状态)响应分别满足线性特性

（3）线性系统的判定方法
①方法论：要按照【分解特性】【零状态响应的线性性】【零输入响应的线性性】来分别判断，只要有一个条件不满足，该系统就是非线性的。

• 【分解特性】：如果响应y(·)的表达式中含有状态项x(·)和输入信号项f(·)的交叉乘积，则不可分解
• 【线性性】：分别验证y_zs和y_zi项，如果含有绝对值、幂乘项等，则一定不满足线性性。

其余的非典型特征则需要按照线性性的定义代入到式子中进行验证。

②示例


2. 时(不)变性

（1）时不变系统的定义

如果系统的参数都是常数，它们不随时间变化，则称该系统为时不变(非时变)系统，否则则为时变系统。
从具象的观点来理解，也就是一个系统的输入延迟多少时间，其零状态响应也会相应延迟多少时间。

注意这里判断系统的时不变性质的时候，是需要对零状态响应进行判断，因为如果该系统的参数不会随着时间发生变化，那么系统的零状态响应就与输入信号接入系统的时间无关。

（2）时不变系统的判定

• 如果输入信号f(·)之前出现了变系数或者有反转、伸缩变换等，那么对应的系统都是时变系统。
  
  （3）线性时不变系统的特性

对于线性或非线性系统都可以继续按照时变或者时不变进行分类，在本书中我们着重讨论【线性时不变系统】。
如果用数学模型来归纳我们上述讨论的系统的性质——

• 线性时不变系统(LTI)的数学模型是常系数线性微分(差分)方程
• 线性时变系统的数学模型是变系数线性微分(差分)方程

3. 因果性

响应（零状态响应）不出现在激励之前的系统为因果系统，也就是说，对于任意时刻t₀或者k₀（常选择t₀/k₀=0）和任意的输入信号f(·)，如果有$$f(\cdot )=0，t<t_0(或k<k_0)$$
或者是$$y_{zs}(\cdot )=T[0,f(\cdot )]=0，t<t_0(或k<k_0)$$
则称该系统为因果系统，否则就是非因果系统。

人们常常会把激励与零状态响应的关系看成是因果关系，也就是说激励是产生响应的原因

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本章思维导图