注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、单位冲激与单位阶跃函数

一）、离散时间单位脉冲和单位阶跃序列

1、单位脉冲

最简单的离散时间信号之一就是单位脉冲，或称单位样本，定义为

如下图所示

2、单位阶跃

第二个基本离散时间信号时离散时间单位阶跃，定义为

如下图所示

3、离散时间单位脉冲和单位阶跃的关系

离散时间单位脉冲式离散时间单位阶跃的一次差分，即

相反，离散时间阶跃是单位样本的求和函数，即

如下图所示

另外，上式中将求和变量从m改变为k=n-m后，离散时间单位阶跃也可用单位样本表示成

或等效为

注：此式可以把它看成一些延时脉冲的叠加，也就是说将其看成在n=0发生的α[n]，在n=1发生的α[n-1]，以及在n=2发生的α[n-2].....等的和。

式子如下图所示

4、采样性质

单位脉冲序列可以用于一个信号在n=0时的值得采样，因为α[n]仅在n=0位非零时（等于1），所以有

更一般的情况是，若考虑发生在n=n0处的单位脉冲α[n-n0]，name就有

二）、连续时间单位阶跃和单位冲激函数

1、单位阶跃

与离散时间情况类似，连续时间单位阶跃函数定义为

如下图所示

值得注意的是，单位阶跃在t=0这一点上是不连续的。

2、连续时间单位冲激函数于单位阶跃的关系

其关系也和离散时间单位脉冲与单位阶跃函数之间的关系相类似，即连续时间单位阶跃是单位冲激的积分函数

式子1.71

如下图所示

如果式子的积分变量T置换为Q=t-T，就可以将连续时间单位阶跃和单位冲激函数之间的关系表示为另一种形式

或

式子1.75

如下图所示

根据式1.71，连续时间单位冲激可看成连续时间单位阶跃的一次微分

3、采样性质

与离散时间单位脉冲函数一样，连续时间冲激函数也具有一个很重要的采样的性质。

考虑一个冲激和一些常规连续时间函数x(t)的乘积是很重要，考虑下式

若△足够小，以使x(t)在△内可以近似认为是一个常数x(0)，则有

因为a(t)是△->0时的极限，所有有

同理，对出现在任意一点的冲激应该有一个类似的表达式为

二、连续时间和离散时间系统

1、连续时间系统

输入该系统的信号时连续时间信号，系统产生的输出也是连续时间信号。

2、离散时间系统

将离散时间输入信号变换为离散时间输出信号。

3、图示

一）、系统的互联

1、图示

2、串联

两个系统的串联或称级联如上图1.42（a）所示，这样的图称为方框图。这里系统1的输出就是系统2的输入，而整个系统变换输入信号首先由系统1处理，然后再由系统2处理。

3、并联

两个系统的并联如图1.42（b）。此时，系统1和系统2具有相同的输入。图中的符号表示相加，所以并联后的输出是系统1和2的输出之和。

4、反馈互联

这里的系统1的输出是系统2的输入，而系统2的输出又反馈回来与外加的输入信号一起组成系统1的真正输入。