第一章 信号与系统概述

1.2基本信号

阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研究奇异函数的性质要用到广义函数(或分配函数)的理论。下面先直观引出阶跃函数和冲激函数。

1.2.1 阶跃函数

定义
选定一个函数序列${\gamma }_n(t)$ ，求极限。

$$\epsilon (t)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\gamma }_n(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ 1/2，& t=0\\ 1,& t>0\end{array}$$

性质

(1)表示分段常量信号
$$f(t)=2\epsilon (t)-3\epsilon (t-1)+\epsilon (t-2)$$

(2)表示信号的作用区间

(3)积分

$${\int }_{-\infty }^t\epsilon (\tau )\mathrm{d}\tau =t\epsilon (t)$$

1.2.2 冲激函数

定义

单位冲激函数：是奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短的物理量的理想化模型(狄拉克提出)。

$$\{\begin{array}{lc}\delta (t)=0,& t\ne 0\\ & \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1& \end{array}$$

理解: 高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。

冲激函数与阶跃函数的关系

由
$$p_n(t)=\frac{\mathrm{d}{\gamma }_n(t)}{\mathrm{d}t}$$
得到：
$$\delta (t)=\frac{\mathrm{d}\epsilon (t)}{\mathrm{d}t}$$
$$\epsilon (t)={\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )\mathrm{d}\tau$$
作用:
冲激函数可以描述间断点的导数。

1.2.3 冲激函数的广义函数定义

广义函数定义

• 普通函数$y=f(t)$: 是将一维实数空间的数 $t$ 经过 $f$所规定的运算映射为一维实数空间的数$y$。
  

• 广义函数$Ng[\phi (t)]$: 选择一类性能良好的函数$\phi (t)$作为检验函数(相当于自变量)，一个广义函数$g(t)$对检验函数空间中的每个函数$\phi (t)$赋予一个数值$N$的映射记为：

冲激函数的广义函数定义

含义: 冲激函数$\delta (t)$作用于检验函数$\phi (t)$的结果是赋值为$\phi (0)$，称为冲激函数的取样性质 。

简言之，能从检验函数$\phi (t)$中筛选出函数值φ(0)的广义函数就称为冲激函数$\delta (t)$ 。 举例如下:

高斯（钟形）函数
$$\delta (t)=\underset{b\to \infty }{\lim }b{e}^{-\pi (bt{)}^2}$$

取样函数
$$\delta (t)=\underset{b\to \infty }{\lim }\frac{\sin (bt)}{\pi t}$$

1.2.4 冲激函数的取样性质

1.2.4.1 $f(t)$乘以$\delta (t)$

$$f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$$
$f(0)\delta (t)$含义$：$$f(0)$倍的$\delta (t)$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)\mathrm{d}t=f(0)$$

注意：积分区间要包含冲激所在的时刻$t=0$。

例子：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[{\mathrm{e}}^{-2t}\epsilon (t)\right]={\mathrm{e}}^{-2t}\delta (t)-2{\mathrm{e}}^{-2t}\epsilon (t)=\delta (t)-2{\mathrm{e}}^{-2t}\epsilon (t)$$
$${\int }_{-1}^9\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\delta (t)\mathrm{d}t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$${\int }_{-4}^{-1}\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\delta (t)\mathrm{d}t=0$$

积分区间不包含0

1.2.4.2 $f(t)$乘以$\delta (t-a)$

$$f(t)\delta (t-a)=f(a)\delta (t-a)$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-a)\mathrm{d}t=f(a)$$

注意：积分区间要包含冲激所在的时刻 $t=a$ 。

例子：
$${\int }_{-3}^0\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\delta (t-1)\mathrm{d}t=0$$
积分区间不包含1
$${\int }_{-1}^{1}2\tau \delta (\tau -t)\mathrm{d}\tau =\{\begin{array}{lc}2t,& -1<t<1\\ 0,& \text{ 其它 }\end{array}$$
积分变量是$\tau$，当$-1<t<1$ 时，$\delta (\tau -t)$才在$[-1,1]$区间里。
$${\int }_{-1}^t(\tau -1{)}^2\delta (\tau )\mathrm{d}\tau =\epsilon (t)$$
当$t<0$时，$\delta (\tau )$积分等于0

1.2.5 冲激函数的导数

1.2.5.1 $\delta ’(t)$ (也称冲激偶)

冲激函数的导数：瞬间冲上去，又冲下来。
$$f(t){\delta }^{\prime }(t)=f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t)$$

广义函数形式的定义：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{\prime }(t)f(t)\mathrm{d}t=-f^{\prime }(0)$$

推广：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{\prime }(t-a)f(t)\mathrm{d}t=-f^{\prime }(a)$$

例子：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }(t-2{)}^2{\delta }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[(t-2{)}^2\right]|}_{t=0}=-{2(t-2)|}_{t=0}=4$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }(t-2{)}^2{\delta }^{\prime }(t-1)\mathrm{d}t=-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[(t-2{)}^2\right]|}_{t=1}=-{2(t-2)|}_{t=1}=2$$

1.2.5.2 ${\delta }^{(n)}(t)$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{(n)}(t)\mathrm{d}t=(-1{)}^n{f}^{(n)}(0)$$

1.2.6 冲激函数的尺度变化

1.2.6.1 $\delta (at)$ 的定义

$${\delta }^n(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}{\delta }^n(t)$$

特例：

$$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$

1.2.6.2 推广结论

（1）$\delta \left(at-t_0\right)=\delta \left[a\left(t-\frac{t_0}{a}\right)\right]=\frac{1}{|a|}\delta \left(t-\frac{t_0}{a}\right)$

（2）当$a=-1$时，${\delta }^{(n)}(-t)=(-1{)}^n{\delta }^{(n)}(t)$

$\delta (-t)=\delta (t)$，$\delta (t)$为偶函数。

${\delta }^{\prime }(-t)={\delta }^{\prime }(t)$，${\delta }^{\prime }(t)$为奇函数。

（3）由$(t^3+5)\cdot 2\delta (t)=(0+5)\cdot 2\delta (t)$
得到${\int }_{-\infty }^{\infty }(0+5)\cdot 2\delta (t)dt=10$

（4）由$f(t){\delta }^{\prime }(t)=f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t)$

得到$-x\cdot {\delta }^{\prime }(x)=0\cdot {\delta }^{\prime }(x)-1\delta (x)$

1.2.7 单位脉冲序列与单位阶跃序列

1.2.7.1 单位脉冲序列$\delta (k)$

对应冲激函数。
$$\delta (k)=\{\begin{array}{ll}1,& k=0\\ 0,& k\ne 0\end{array}$$

取样性质：
$$f(k)\delta (k)=f(0)\delta (k)$$
$$f(k)\delta \left(k-k_0\right)=f\left(k_0\right)\delta \left(k-k_0\right)$$
$$\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k)\delta (k)=f(0)$$

1.2.7.2 单位阶跃序列$\epsilon (k)$

$$\epsilon (k)=\{\begin{array}{ll}1& k\ge 0\\ 0,& k<0\end{array}$$

1.2.7.3 $\epsilon (k)$与$\delta (k)$的关系

$$\delta (k)=\epsilon (k)-\epsilon (k-1)$$
$$\epsilon (k)=\sum _{i=-\infty }^k\delta (i)$$

或
$$\epsilon (k)=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (k-j)=\delta (k)+\delta (k-1)+\dots$$

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟