高等数学（第七版）同济大学 总习题二
1. 在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内： \begin{aligned}&1. \ 在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：&\end{aligned} 1. 在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：
( 1 ) f ( x ) 在点 x 0 可导是 f ( x ) 在点 x 0 连续的 _ _ _ _ _ _ 条件。 f ( x ) 在点 x 0 连续是 f ( x ) 在点 x 0 可导的 _ _ _ _ _ _ 条件； ( 2 ) f ( x ) 在点 x 0 的左导数 f − ′ ( x 0 ) 及右导数 f + ′ ( x 0 ) 都存在且相等是 f ( x ) 在点 x 0 可导的 _ _ _ _ _ _ 条件； ( 3 ) f ( x ) 在点 x 0 可导是 f ( x ) 在点 x 0 可微的 _ _ _ _ _ _ 条件。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ f(x)在点x_0可导是f(x)在点x_0连续的\_\_\_\_\_\_条件。f(x)在点x_0连续是f(x)在点x_0可导的\_\_\_\_\_\_条件；\\\\ &\ \ (2)\ \ f(x)在点x_0的左导数f_-'(x_0)及右导数f'_+(x_0)都存在且相等是f(x)在点x_0可导的\_\_\_\_\_\_条件；\\\\ &\ \ (3)\ \ f(x)在点x_0可导是f(x)在点x_0可微的\_\_\_\_\_\_条件。 & \end{aligned} (1) f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的______条件。f(x)在点x0连续是f(x)在点x0可导的______条件； (2) f(x)在点x0的左导数f−′(x0)及右导数f+′(x0)都存在且相等是f(x)在点x0可导的______条件； (3) f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的______条件。
解：
( 1 ) 充分，必要 ( 2 ) 充分必要 ( 3 ) 充分必要 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 充分，必要\\\\ &\ \ (2)\ 充分必要\\\\ &\ \ (3)\ 充分必要 & \end{aligned} (1) 充分，必要 (2) 充分必要 (3) 充分必要
2. 设 f ( x ) = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + n ) ( n ≥ 2 ) ，则 f ′ ( 0 ) = _ _ _ _ _ _ \begin{aligned}&2. \ 设f(x)=x(x+1)(x+2)\cdot\cdot\cdot(x+n)\ (n \ge 2)，则f'(0)=\_\_\_\_\_\_&\end{aligned} 2. 设f(x)=x(x+1)(x+2)⋅⋅⋅(x+n) (n≥2)，则f′(0)=______
解：
f ′ ( 0 ) = lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim x → 0 [ ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + n ) ] = n ! \begin{aligned} &\ \ f'(0)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0}[(x+1)(x+2)\cdot\cdot\cdot(x+n)]=n! & \end{aligned} f′(0)=x→0limx−0f(x)−f(0)=x→0lim[(x+1)(x+2)⋅⋅⋅(x+n)]=n!
3. 下述题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： \begin{aligned}&3. \ 下述题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：&\end{aligned} 3. 下述题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：
设 f ( x ) 在 x = a 的某个邻域内有定义，则 f ( x ) 在 x = a 处可导的一个充分条件是 ( ) ( A ) lim h → + ∞ h [ f ( a + 1 h ) − f ( a ) ] 存在 ( B ) lim h → 0 f ( a + 2 h ) − f ( a + h ) h 存在 ( C ) lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a − h ) 2 h 存在 ( D ) lim h → 0 f ( a ) − f ( a − h ) h 存在。 \begin{aligned} &\ \ 设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是(\ \ \ \ \ )\\\\ &\ \ (A)\ \ \lim_{h \rightarrow +\infty}h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]存在\\\\ &\ \ (B)\ \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}存在\\\\ &\ \ (C)\ \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}存在\\\\ &\ \ (D)\ \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}存在。 & \end{aligned} 设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是( ) (A) h→+∞limh[f(a+h1)−f(a)]存在 (B) h→0limhf(a+2h)−f(a+h)存在 (C) h→0lim2hf(a+h)−f(a−h)存在 (D) h→0limhf(a)−f(a−h)存在。
解：
A 仅能得知 f + ′ ( a ) 存在 . B ，取 f ( x ) = { 1 ， x ≠ 0 ， 0 ， x = 0. f ( x ) 在 x = 0 处不可导 . C ，取 f ( x ) = ∣ x ∣ ， f ( x ) 在 x = 0 处不可导 . D 正确。 \begin{aligned} &\ \ A仅能得知f_+'(a)存在.\\\\ &\ \ B，取f(x)=\begin{cases}1，x \neq 0，\\\\0，x=0.\end{cases}f(x)在x=0处不可导.\\\\ &\ \ C，取f(x)=|x|，f(x)在x=0处不可导.\\\\ &\ \ D正确。 & \end{aligned} A仅能得知f+′(a)存在. B，取f(x)=⎩ ⎨ ⎧1，x=0，0，x=0.f(x)在x=0处不可导. C，取f(x)=∣x∣，f(x)在x=0处不可导. D正确。
4. 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为 x ，于是分布在区间 [ 0 , x ] 上细棒的 质量 m 与 x 存在函数关系 m = m ( x ) 。应怎样确定细棒在点 x 0 处的线密度（对于均匀细棒来说， 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）？ \begin{aligned}&4. \ 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x，于是分布在区间[0,\ x]上细棒的\\\\&\ \ \ \ 质量m与x存在函数关系m=m(x)。应怎样确定细棒在点x_0处的线密度（对于均匀细棒来说，\\\\&\ \ \ \ 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）？&\end{aligned} 4. 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x，于是分布在区间[0, x]上细棒的 质量m与x存在函数关系m=m(x)。应怎样确定细棒在点x0处的线密度（对于均匀细棒来说， 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）？
解：
在区间 [ x 0 , x 0 + Δ x ] 上的平均线密度为 ρ ‾ = Δ m Δ x = m ( x 0 + Δ x ) − m ( x 0 ) Δ x 在点 x 0 处的线密度为 ρ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 m ( x 0 + Δ x ) − m ( x 0 ) Δ x = d m d x ∣ x = x 0 \begin{aligned} &\ \ 在区间[x_0,\ x_0+\Delta x]上的平均线密度为\overline{\rho}=\frac{\Delta m}{\Delta x}=\frac{m(x_0+\Delta x)-m(x_0)}{\Delta x}\\\\ &\ \ 在点x_0处的线密度为\rho(x_0)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{m(x_0+\Delta x)-m(x_0)}{\Delta x}=\frac{dm}{dx}\bigg|_{x=x_0} & \end{aligned} 在区间[x0, x0+Δx]上的平均线密度为ρ=ΔxΔm=Δxm(x0+Δx)−m(x0) 在点x0处的线密度为ρ(x0)=Δx→0limΔxm(x0+Δx)−m(x0)=dxdm x=x0
5. 根据导数的定义，求 f ( x ) = 1 x 的导数。 \begin{aligned}&5. \ 根据导数的定义，求f(x)=\frac{1}{x}的导数。&\end{aligned} 5. 根据导数的定义，求f(x)=x1的导数。
解：
根据导数定义得知，当 x ≠ 0 时， ( 1 x ) ′ = lim Δ x → 0 1 x + Δ x − 1 x Δ x = lim Δ x → 0 − 1 x ( x + Δ x ) = − 1 x 2 \begin{aligned} &\ \ 根据导数定义得知，当x \neq 0时，\left(\frac{1}{x}\right)'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{-1}{x(x+\Delta x)}=-\frac{1}{x^2} & \end{aligned} 根据导数定义得知，当x=0时，(x1)′=Δx→0limΔxx+Δx1−x1=Δx→0limx(x+Δx)−1=−x21
6. 求下列函数 f ( x ) 的 f − ′ ( 0 ) 及 f + ′ ( 0 ) ，又 f ′ ( 0 ) 是否存在： \begin{aligned}&6. \ 求下列函数f(x)的f_-'(0)及f_+'(0)，又f'(0)是否存在：&\end{aligned} 6. 求下列函数f(x)的f−′(0)及f+′(0)，又f′(0)是否存在：
( 1 ) f ( x ) = { s i n x ， x < 0 ， l n ( 1 + x ) ， x ≥ 0 ； ( 2 ) f ( x ) = { x 1 + e 1 x ， x ≠ 0 ， 0 ， x = 0. \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ f(x)=\begin{cases}sin\ x，\ \ \ \ \ \ \ x \lt 0，\\\\ln(1+x)，x \ge 0；\end{cases}\\\\ &\ \ (2)\ \ f(x)=\begin{cases}\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}，x \neq 0，\\\\0，\ \ \ \ \ \ \ x=0.\end{cases} & \end{aligned} (1) f(x)=⎩ ⎨ ⎧sin x， x<0，ln(1+x)，x≥0； (2) f(x)=⎩ ⎨ ⎧1+ex1x，x=0，0， x=0.
解：
( 1 ) f − ′ ( 0 ) = lim x → 0 − f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim x → 0 − s i n x x = 1 ， f + ′ ( 0 ) = lim x → 0 + f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim x → 0 + l n ( 1 + x ) x = 1 。 因为 f − ′ ( 0 ) = f + ′ ( 0 ) = 1 ，所以 f ′ ( 0 ) 存在。 ( 2 ) f − ′ ( 0 ) = lim x → 0 − f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim x → 0 − x 1 + e 1 x − 0 x = lim x → 0 − 1 1 + e 1 x = 1 ， f + ′ ( 0 ) = lim x → 0 + f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim x → 0 + x 1 + e 1 x − 0 x = lim x → 0 − 1 1 + e 1 x = 0. 因为 f − ′ ( 0 ) ≠ f + ′ ( 0 ) ，所以 f ′ ( 0 ) 不存在。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ f'_-(0)=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{sin\ x}{x}=1，f'_+(0)=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{ln(1+x)}{x}=1。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 因为f'_-(0)=f'_+(0)=1，所以f'(0)存在。\\\\ &\ \ (2)\ f'_-(0)=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}-0}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ f'_+(0)=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}-0}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=0.\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 因为f'_-(0) \neq f'_+(0)，所以f'(0)不存在。 & \end{aligned} (1) f−′(0)=x→0−limx−0f(x)−f(0)=x→0−limxsin x=1，f+′(0)=x→0+limx−0f(x)−f(0)=x→0+limxln(1+x)=1。 因为f−′(0)=f+′(0)=1，所以f′(0)存在。 (2) f−′(0)=x→0−limx−0f(x)−f(0)=x→0−limx1+ex1x−0=x→0−lim1+ex11=1， f+′(0)=x→0+limx−0f(x)−f(0)=x→0+limx1+ex1x−0=x→0−lim1+ex11=0. 因为f−′(0)=f+′(0)，所以f′(0)不存在。
7. 讨论函数 f ( x ) = { x s i n 1 x ， x ≠ 0 ， 0 ， x = 0. 在 x = 0 处的连续性与可导性。 \begin{aligned}&7. \ 讨论函数f(x)=\begin{cases}xsin\ \frac{1}{x}，x \neq 0，\\\\0，\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0.\end{cases}在x=0处的连续性与可导性。&\end{aligned} 7. 讨论函数f(x)=⎩ ⎨ ⎧xsin x1，x=0，0， x=0.在x=0处的连续性与可导性。
解：
lim x → 0 f ( x ) = lim x → 0 x s i n 1 x = 0 = f ( 0 ) ，所以 f ( x ) 在 x = 0 处连续 . f ′ ( 0 ) = lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim x → 0 x s i n 1 x x = lim x → 0 s i n 1 x ，极限不存在，所以 f ( x ) 在 x = 0 处不可导 . \begin{aligned} &\ \ \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}xsin\ \frac{1}{x}=0=f(0)，所以f(x)在x=0处连续.\\\\ &\ \ f'(0)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{xsin\ \frac{1}{x}}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}sin\ \frac{1}{x}，极限不存在，所以f(x)在x=0处不可导. & \end{aligned} x→0limf(x)=x→0limxsin x1=0=f(0)，所以f(x)在x=0处连续. f′(0)=x→0limx−0f(x)−f(0)=x→0limxxsin x1=x→0limsin x1，极限不存在，所以f(x)在x=0处不可导.
8. 求下列函数的导数： \begin{aligned}&8. \ 求下列函数的导数：&\end{aligned} 8. 求下列函数的导数：
( 1 ) y = a r c s i n ( s i n x ) ； ( 2 ) y = a r c t a n 1 + x 1 − x ； ( 3 ) y = l n t a n x 2 − c o s x ⋅ l n t a n x ； ( 4 ) y = l n ( e x + 1 + e 2 x ) ； ( 5 ) y = x 1 x ( x > 0 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=arcsin(sin\ x)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=arctan\frac{1+x}{1-x}；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=ln\ tan\ \frac{x}{2}-cos\ x \cdot ln\ tan\ x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=ln(e^x+\sqrt{1+e^{2x}})；\\\\ &\ \ (5)\ \ y=x^{\frac{1}{x}}\ (x \gt 0). & \end{aligned} (1) y=arcsin(sin x)； (2) y=arctan1−x1+x； (3) y=ln tan 2x−cos x⋅ln tan x； (4) y=ln(ex+1+e2x)； (5) y=xx1 (x>0).
解：
( 1 ) y ′ = 1 1 − s i n 2 x ⋅ c o s x = c o s x ∣ c o s x ∣ ( 2 ) y ′ = 1 1 + ( 1 + x 1 − x ) 2 ⋅ ( 1 + x 1 − x ) ′ = ( 1 − x ) 2 2 + 2 x 2 ⋅ 2 ( 1 − x ) 2 = 1 1 + x 2 ( 3 ) y ′ = ( l n t a n x 2 ) ′ − ( c o s x ⋅ l n t a n x ) ′ = 1 t a n x 2 ⋅ s e c 2 x 2 ⋅ 1 2 − ( − s i n x ⋅ l n tan x + c o s x ⋅ 1 t a n x ⋅ s e c 2 x ) = 1 s i n x + s i n x ⋅ l n tan x − 1 s i n x = s i n x ⋅ l n t a n x . ( 4 ) y ′ = 1 e x + 1 + e 2 x ⋅ ( e x + 1 + e 2 x ) ′ = 1 e x + 1 + e 2 x ⋅ ( e x + 1 2 1 + e 2 x ⋅ e 2 x ⋅ 2 ) = 1 e x + 1 + e 2 x ⋅ e x ( e x + 1 + e 2 x ) 1 + e 2 x = e x 1 + e 2 x ( 5 ) l n y = l n x x ，两边求导， 1 y y ′ = 1 − l n x x 2 ， y ′ = x 1 x − 2 ( 1 − l n x ) \begin{aligned} &\ \ (1)\ y'=\frac{1}{\sqrt{1-sin^2\ x}}\cdot cos\ x=\frac{cos\ x}{|cos\ x|}\\\\ &\ \ (2)\ y'=\frac{1}{1+\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{(1-x)^2}{2+2x^2}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{1}{1+x^2}\\\\ &\ \ (3)\ y'=(ln\ tan\ \frac{x}{2})'-(cos\ x \cdot ln \ tan\ x)'=\frac{1}{tan\ \frac{x}{2}} \cdot sec^2\ \frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}-(-sin\ x \cdot ln \tan\ x+cos\ x \cdot \frac{1}{tan\ x}\ \cdot sec^2\ x)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{sin\ x}+sin\ x \cdot ln\ \tan\ x-\frac{1}{sin\ x}=sin\ x \cdot ln\ tan\ x.\\\\ &\ \ (4)\ y'=\frac{1}{e^x+\sqrt{1+e^{2x}}}\cdot (e^x+\sqrt{1+e^{2x}})'=\frac{1}{e^x+\sqrt{1+e^{2x}}}\cdot (e^x+\frac{1}{2\sqrt{1+e^{2x}}}\cdot e^{2x} \cdot 2)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{e^x+\sqrt{1+e^{2x}}}\cdot \frac{e^x(e^x+\sqrt{1+e^{2x}})}{\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\\\\ &\ \ (5)\ ln\ y=\frac{ln\ x}{x}，两边求导，\frac{1}{y}y'=\frac{1-ln\ x}{x^2}，y'=x^{\frac{1}{x}-2}(1-ln\ x) & \end{aligned} (1) y′=1−sin2 x1⋅cos x=∣cos x∣cos x (2) y′=1+(1−x1+x)21⋅(1−x1+x)′=2+2x2(1−x)2⋅(1−x)22=1+x21 (3) y′=(ln tan 2x)′−(cos x⋅ln tan x)′=tan 2x1⋅sec2 2x⋅21−(−sin x⋅lntan x+cos x⋅tan x1 ⋅sec2 x)= sin x1+sin x⋅ln tan x−sin x1=sin x⋅ln tan x. (4) y′=ex+1+e2x1⋅(ex+1+e2x)′=ex+1+e2x1⋅(ex+21+e2x1⋅e2x⋅2)= ex+1+e2x1⋅1+e2xex(ex+1+e2x)=1+e2xex (5) ln y=xln x，两边求导，y1y′=x21−ln x，y′=xx1−2(1−ln x)
9. 求下列函数的二阶导数： \begin{aligned}&9. \ 求下列函数的二阶导数：&\end{aligned} 9. 求下列函数的二阶导数：
( 1 ) y = c o s 2 x ⋅ l n x ； ( 2 ) y = x 1 − x 2 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=cos^2\ x \cdot ln\ x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. & \end{aligned} (1) y=cos2 x⋅ln x； (2) y=1−x2x.
解：
( 1 ) y ′ = ( c o s 2 x ) ′ l n x + c o s 2 x ( l n x ) ′ = − s i n 2 x ⋅ ln x + c o s 2 x x y ′ ′ = ( − s i n 2 x ⋅ l n x ) ′ + ( c o s 2 x x ) ′ = − 2 c o s 2 x ⋅ l n x − s i n 2 x x − x s i n 2 x + c o s 2 x x 2 = − 2 c o s 2 x ⋅ l n x − 2 s i n 2 x x − c o s 2 x x 2 ( 2 ) y ′ = 1 − x 2 + x 2 1 − x 2 1 − x 2 = 1 ( 1 − x 2 ) 3 y ′ ′ = − [ ( 1 − x 2 ) 3 2 ] ′ ( 1 − x 2 ) 3 = 3 x 1 − x 2 ( 1 − x 2 ) 3 = 3 x ( 1 − x 2 ) 5 2 \begin{aligned} &\ \ (1)\ y'=(cos^2\ x)'ln\ x+cos^2\ x(ln\ x)'=-sin\ 2x\cdot \ln\ x+\frac{cos^2\ x}{x}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y''=(-sin\ 2x \cdot ln\ x)'+\left(\frac{cos^2\ x}{x}\right)'=-2cos\ 2x\cdot ln\ x-\frac{sin\ 2x}{x}-\frac{xsin\ 2x+cos^2\ x}{x^2}=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ -2cos\ 2x \cdot ln\ x-\frac{2sin\ 2x}{x}-\frac{cos^2\ x}{x^2}\\\\ &\ \ (2)\ y'=\frac{\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ y''=\frac{-[(1-x^2)^{\frac{3}{2}}]'}{(1-x^2)^3}=\frac{3x\sqrt{1-x^2}}{(1-x^2)^3}=\frac{3x}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} & \end{aligned} (1) y′=(cos2 x)′ln x+cos2 x(ln x)′=−sin 2x⋅ln x+xcos2 x y′′=(−sin 2x⋅ln x)′+(xcos2 x)′=−2cos 2x⋅ln x−xsin 2x−x2xsin 2x+cos2 x= −2cos 2x⋅ln x−x2sin 2x−x2cos2 x (2) y′=1−x21−x2+1−x2x2=(1−x2)31 y′′=(1−x2)3−[(1−x2)23]′=(1−x2)33x1−x2=(1−x2)253x
10. 求下列函数的 n 阶导数： \begin{aligned}&10. \ 求下列函数的n阶导数：&\end{aligned} 10. 求下列函数的n阶导数：
( 1 ) y = 1 + x m ； ( 2 ) y = 1 − x 1 + x . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=\sqrt[m]{1+x}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=\frac{1-x}{1+x}. & \end{aligned} (1) y=m1+x； (2) y=1+x1−x.
解：
( 1 ) y ′ = 1 m ( 1 + x ) 1 m − 1 ， y ′ ′ = 1 m ( 1 m − 1 ) ( 1 + x ) 1 m − 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， y ( n ) = 1 m ( 1 m − 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( 1 m − n + 1 ) ( 1 + x ) 1 m − n ( 2 ) 因为 ( 1 1 + x ) ( n ) = ( − 1 ) n n ! ( 1 + x ) n + 1 ，所以 y ( n ) = ( 1 − x 1 + x ) ( n ) = ( − 1 + 2 x + 1 ) ( n ) = 2 ⋅ ( − 1 ) n n ! ( 1 + x ) n + 1 \begin{aligned} &\ \ (1)\ y'=\frac{1}{m}(1+x)^{\frac{1}{m}-1}，y''=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{m}-1\right)(1+x)^{\frac{1}{m}-2}，\cdot\cdot\cdot，y^{(n)}=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{m}-1\right)\cdot\cdot\cdot\left(\frac{1}{m}-n+1\right)(1+x)^{\frac{1}{m}-n}\\\\ &\ \ (2)\ 因为\left(\frac{1}{1+x}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}}，所以y^{(n)}=\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{(n)}=\left(-1+\frac{2}{x+1}\right)^{(n)}=\frac{2\cdot (-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}} & \end{aligned} (1) y′=m1(1+x)m1−1，y′′=m1(m1−1)(1+x)m1−2，⋅⋅⋅，y(n)=m1(m1−1)⋅⋅⋅(m1−n+1)(1+x)m1−n (2) 因为(1+x1)(n)=(1+x)n+1(−1)nn!，所以y(n)=(1+x1−x)(n)=(−1+x+12)(n)=(1+x)n+12⋅(−1)nn!
11. 设函数 y = y ( x ) 由方程 e y + x y = e 所确定，求 y ′ ′ ( 0 ) . \begin{aligned}&11. \ 设函数y=y(x)由方程e^y+xy=e所确定，求y''(0).&\end{aligned} 11. 设函数y=y(x)由方程ey+xy=e所确定，求y′′(0).
解：
方程两边对 x 求导，得 e y y ′ + y + x y ′ = 0 。因 x = 0 ，代入方程 e y + x y = e ，得 y = 1 ， 再将 x = 0 ， y = 1 代入方程 e y y ′ + y + x y ′ = 0 ，得 y ‘ = − 1 e ，对方程 e y y ′ + y + x y ′ = 0 两边求导， 得 e y y ′ 2 + e y y ′ ′ + y ′ + y ′ + x y ′ ′ = 0 。将 x = 0 ， y = 1 ， y ’ = − 1 e 代入方程 e y y ′ 2 + e y y ′ ′ + y ′ + y ′ + x y ′ ′ = 0 ， 得 y ′ ′ ( 0 ) = 1 e 2 \begin{aligned} &\ \ 方程两边对x求导，得e^yy'+y+xy'=0。因x=0，代入方程e^y+xy=e，得y=1，\\\\ &\ \ 再将x=0，y=1代入方程e^yy'+y+xy'=0，得y‘=-\frac{1}{e}，对方程e^yy'+y+xy'=0两边求导，\\\\ &\ \ 得e^yy'^2+e^yy''+y'+y'+xy''=0。将x=0，y=1，y’=-\frac{1}{e}代入方程e^yy'^2+e^yy''+y'+y'+xy''=0，\\\\ &\ \ 得y''(0)=\frac{1}{e^2}\\\\ &\ \ & \end{aligned} 方程两边对x求导，得eyy′+y+xy′=0。因x=0，代入方程ey+xy=e，得y=1， 再将x=0，y=1代入方程eyy′+y+xy′=0，得y‘=−e1，对方程eyy′+y+xy′=0两边求导， 得eyy′2+eyy′′+y′+y′+xy′′=0。将x=0，y=1，y’=−e1代入方程eyy′2+eyy′′+y′+y′+xy′′=0， 得y′′(0)=e21
12. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 d y d x 及二阶导数 d 2 y d x 2 : \begin{aligned}&12. \ 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数\frac{dy}{dx}及二阶导数\frac{d^2y}{dx^2}:&\end{aligned} 12. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dxdy及二阶导数dx2d2y:
( 1 ) { x = a c o s 3 θ ， y = a s i n 3 θ ； ( 2 ) { x = l n 1 + t 2 ， y = a r c t a n t . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=acos^3\ \theta，\\\\y=asin^3\ \theta；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}x=ln\ \sqrt{1+t^2}，\\\\y=arctan\ t.\end{cases} & \end{aligned} (1) ⎩ ⎨ ⎧x=acos3 θ，y=asin3 θ； (2) ⎩ ⎨ ⎧x=ln 1+t2，y=arctan t.
解：
( 1 ) d y d x = d y d θ d x d θ = 3 a s i n 2 θ c o s θ 3 a c o s 2 θ ( − s i n θ ) = − t a n θ d 2 y d x 2 = d d θ ( d y d x ) d x d θ = − s e c 2 θ − 3 a c o s 2 θ s i n θ = 1 3 a s e c 4 θ c s c θ ( 2 ) d y d x = d y d t d x d t = 1 1 + t 2 t 1 + t 2 = 1 t d 2 y d x 2 = d d t ( d y d x ) d x d t = − 1 t 2 t 1 + t 2 = − 1 + t 2 t 3 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{3asin^2\theta cos\ \theta}{3acos^2\theta(-sin\ \theta)}=-tan\ \theta\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{-sec^2\theta}{-3acos^2\theta sin\ \theta}=\frac{1}{3a}sec^4\theta csc\ \theta\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{1}{1+t^2}}{\frac{t}{1+t^2}}=\frac{1}{t}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-\frac{1}{t^2}}{\frac{t}{1+t^2}}=-\frac{1+t^2}{t^3} & \end{aligned} (1) dxdy=dθdxdθdy=3acos2θ(−sin θ)3asin2θcos θ=−tan θ dx2d2y=dθdxdθd(dxdy)=−3acos2θsin θ−sec2θ=3a1sec4θcsc θ (2) dxdy=dtdxdtdy=1+t2t1+t21=t1 dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=1+t2t−t21=−t31+t2
13. 求曲线 { x = 2 e t ， y = e − t 在 t = 0 相应的点处的切线方程及法线方程。 \begin{aligned}&13. \ 求曲线\begin{cases}x=2e^t，\\\\y=e^{-t}\end{cases}在t=0相应的点处的切线方程及法线方程。&\end{aligned} 13. 求曲线⎩ ⎨ ⎧x=2et，y=e−t在t=0相应的点处的切线方程及法线方程。
解：
d y d x = d y d t d x d t = − e − t 2 e t = − 1 2 e 2 t ，当 t = 0 时， y ′ = − 1 2 ， t = 0 时对应的点为 ( 2 , 1 ) ，所以曲线在点 ( 2 , 1 ) 处的切线方程为 y − 1 = − 1 2 ( x − 2 ) ，即 x + 2 y − 4 = 0 。法线方程为 y − 1 = 2 ( x − 2 ) ，即 2 x − y − 3 = 0. \begin{aligned} &\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-e^{-t}}{2e^t}=-\frac{1}{2e^{2t}}，当t=0时，y'=-\frac{1}{2}，t=0时对应的点为(2,\ 1)，所以曲线在点(2,\ 1)处的切线方程为\\\\ &\ \ y-1=-\frac{1}{2}(x-2)，即x+2y-4=0。法线方程为y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0. & \end{aligned} dxdy=dtdxdtdy=2et−e−t=−2e2t1，当t=0时，y′=−21，t=0时对应的点为(2, 1)，所以曲线在点(2, 1)处的切线方程为 y−1=−21(x−2)，即x+2y−4=0。法线方程为y−1=2(x−2)，即2x−y−3=0.
14. 已知 f ( x ) 是周期为 5 的连续函数，它在 x = 0 的某个邻域内满足关系式 f ( 1 + s i n x ) − 3 f ( 1 − s i n x ) = 8 x + o ( x ) ， 且 f ( x ) 在 x = 1 处可导，求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 6 , f ( 6 ) ) 处的切线方程。 \begin{aligned}&14. \ 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sin\ x)-3f(1-sin\ x)=8x+o(x)，\\\\&\ \ \ \ \ \ 且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6, \ f(6))处的切线方程。&\end{aligned} 14. 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sin x)−3f(1−sin x)=8x+o(x)， 且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6, f(6))处的切线方程。
解：
因为 f ( x ) 连续，关系式两端当 x → 0 时，取极限得 f ( 1 ) − 3 f ( 1 ) = 0 ， f ( 1 ) = 0 。 因为 lim x → 0 f ( 1 + s i n x ) − 3 f ( 1 − s i n x ) x = 8 ， 而 lim x → 0 f ( 1 + s i n x ) − 3 f ( 1 − s i n x ) x = lim x → 0 f ( 1 + s i n x ) − 3 f ( 1 − s i n x ) s i n x ⋅ lim x → 0 s i n x x 令 t = s i n x ， lim t → 0 f ( 1 + t ) − 3 f ( 1 − t ) t = lim t → 0 f ( 1 + t ) − f ( 1 ) t + 3 lim t → 0 f ( 1 − t ) − f ( 1 ) − t = 4 f ′ ( 1 ) ，所以 f ′ ( 1 ) = 2 。 因为 f ( x + 5 ) = f ( x ) ，所以 f ( 6 ) = f ( 1 ) = 0 。 f ′ ( 6 ) = lim x → 0 f ( 6 + x ) − f ( 6 ) x = lim x → 0 f ( 1 + x ) − f ( 1 ) x = f ′ ( 1 ) = 2 。 曲线 y = f ( x ) 在点 ( 6 , f ( 6 ) ) 处的切线方程为 y − 0 = 2 ( x − 6 ) ，即 2 x − y − 12 = 0. \begin{aligned} &\ \ 因为f(x)连续，关系式两端当x \rightarrow 0时，取极限得f(1)-3f(1)=0，f(1)=0。\\\\ &\ \ 因为\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(1+sin\ x)-3f(1-sin\ x)}{x}=8，\\\\ &\ \ 而\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(1+sin\ x)-3f(1-sin\ x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(1+sin\ x)-3f(1-sin\ x)}{sin\ x}\cdot \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin\ x}{x}\\\\ &\ \ 令t=sin\ x，\lim_{t \rightarrow 0}\frac{f(1+t)-3f(1-t)}{t}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{f(1+t)-f(1)}{t}+3\lim_{t \rightarrow 0}\frac{f(1-t)-f(1)}{-t}=4f'(1)，所以f'(1)=2。\\\\ &\ \ 因为f(x+5)=f(x)，所以f(6)=f(1)=0。f'(6)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(6+x)-f(6)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x}=f'(1)=2。\\\\ &\ \ 曲线y=f(x)在点(6, \ f(6))处的切线方程为y-0=2(x-6)，即2x-y-12=0. & \end{aligned} 因为f(x)连续，关系式两端当x→0时，取极限得f(1)−3f(1)=0，f(1)=0。 因为x→0limxf(1+sin x)−3f(1−sin x)=8， 而x→0limxf(1+sin x)−3f(1−sin x)=x→0limsin xf(1+sin x)−3f(1−sin x)⋅x→0limxsin x 令t=sin x，t→0limtf(1+t)−3f(1−t)=t→0limtf(1+t)−f(1)+3t→0lim−tf(1−t)−f(1)=4f′(1)，所以f′(1)=2。 因为f(x+5)=f(x)，所以f(6)=f(1)=0。f′(6)=x→0limxf(6+x)−f(6)=x→0limxf(1+x)−f(1)=f′(1)=2。 曲线y=f(x)在点(6, f(6))处的切线方程为y−0=2(x−6)，即2x−y−12=0.
15. 当正在高度 H 水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图 2 − 16 所示从飞机到机场的水平地面距离为 L 。 假设飞机下降的路径为三次函数 y = a x 3 + b x 2 + c x + d 的图形，其中 y ∣ x = − L = H ， y ∣ x = 0 = 0 。 试确定飞机的降落路径。 \begin{aligned}&15. \ 当正在高度H水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图2-16所示从飞机到机场的水平地面距离为L。\\\\&\ \ \ \ \ \ 假设飞机下降的路径为三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图形，其中y|_{x=-L}=H，y|_{x=0}=0。\\\\&\ \ \ \ \ \ 试确定飞机的降落路径。&\end{aligned} 15. 当正在高度H水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图2−16所示从飞机到机场的水平地面距离为L。 假设飞机下降的路径为三次函数y=ax3+bx2+cx+d的图形，其中y∣x=−L=H，y∣x=0=0。 试确定飞机的降落路径。
解：
由于 y ∣ x = 0 = 0 ⇒ d = 0 ， y ∣ x = − L = H ⇒ − a L 3 + b L 2 − c L = H . 为使飞机平稳降落，需满足 y ′ ∣ x = 0 = 0 ⇒ c = 0 ， y ′ ∣ x = − L = 0 ⇒ 3 a L 2 − 2 b L = 0. 解方程得， a = 2 H L 3 ， b = 3 H L 2 ，所以飞机降落路径为 y = H [ 2 ( x L ) 3 + 3 ( x L ) 2 ] \begin{aligned} &\ \ 由于y|_{x=0}=0 \Rightarrow d=0，y|_{x=-L}=H \Rightarrow -aL^3+bL^2-cL=H.\\\\ &\ \ 为使飞机平稳降落，需满足y'|_{x=0}=0 \Rightarrow c=0，y'|_{x=-L}=0 \Rightarrow 3aL^2-2bL=0.\\\\ &\ \ 解方程得，a=\frac{2H}{L^3}，b=\frac{3H}{L^2}，所以飞机降落路径为y=H\left[2\left(\frac{x}{L}\right)^3+3\left(\frac{x}{L}\right)^2\right] & \end{aligned} 由于y∣x=0=0⇒d=0，y∣x=−L=H⇒−aL3+bL2−cL=H. 为使飞机平稳降落，需满足y′∣x=0=0⇒c=0，y′∣x=−L=0⇒3aL2−2bL=0. 解方程得，a=L32H，b=L23H，所以飞机降落路径为y=H[2(Lx)3+3(Lx)2]
16. 甲船以 6 k m / h 的速率向东行驶，乙船以 8 k m / h 的速率向南行驶。在中午十二点整， 乙船位于甲船之北 16 k m 处。问下午一点整两船相离的速率为多少？ \begin{aligned}&16. \ 甲船以6\ km/h的速率向东行驶，乙船以8\ km/h的速率向南行驶。在中午十二点整，\\\\&\ \ \ \ \ \ 乙船位于甲船之北16\ km处。问下午一点整两船相离的速率为多少？&\end{aligned} 16. 甲船以6 km/h的速率向东行驶，乙船以8 km/h的速率向南行驶。在中午十二点整， 乙船位于甲船之北16 km处。问下午一点整两船相离的速率为多少？
解：
设从中午 12 点整开始，经过 t 小时，甲乙两船距离为 s = ( 16 − 8 t ) 2 + ( 6 t ) 2 ，速率 v = d s d t = 2 ( 16 − 8 t ) ⋅ ( − 8 ) + 72 t 2 ( 16 − 8 t ) 2 + ( 6 t ) 2 当 t = 1 时，两船相离的速率 v = − 128 + 72 20 = − 2.8 k m / h \begin{aligned} &\ \ 设从中午12点整开始，经过t小时，甲乙两船距离为s=\sqrt{(16-8t)^2+(6t)^2}，速率v=\frac{ds}{dt}=\frac{2(16-8t)\cdot (-8)+72t}{2\sqrt{(16-8t)^2+(6t)^2}}\\\\ &\ \ 当t=1时，两船相离的速率v=\frac{-128+72}{20}=-2.8\ km/h & \end{aligned} 设从中午12点整开始，经过t小时，甲乙两船距离为s=(16−8t)2+(6t)2，速率v=dtds=2(16−8t)2+(6t)22(16−8t)⋅(−8)+72t 当t=1时，两船相离的速率v=20−128+72=−2.8 km/h
17. 利用函数的微分代替函数的增量求 1.02 3 的近似值。 \begin{aligned}&17. \ 利用函数的微分代替函数的增量求\sqrt[3]{1.02}的近似值。&\end{aligned} 17. 利用函数的微分代替函数的增量求31.02的近似值。
解：
因为 1 + x 3 ≈ 1 + 1 3 x ，取 x = 0.02 ，则 1.02 3 ≈ 1 + 1 3 × ( 0.02 ) = 1.007 \begin{aligned} &\ \ 因为\sqrt[3]{1+x} \approx 1+\frac{1}{3}x，取x=0.02，则\sqrt[3]{1.02} \approx 1+\frac{1}{3} \times (0.02)=1.007 & \end{aligned} 因为31+x≈1+31x，取x=0.02，则31.02≈1+31×(0.02)=1.007
18. 已知单摆的振动周期 T = 2 π l g ，其中 g = 980 c m / s 2 ， l 为摆长（单位为 c m ） . 设原摆长为 20 c m ，为使周期 T 增大 0.05 s ，摆长约需加长多少？ \begin{aligned}&18. \ 已知单摆的振动周期T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}，其中g=980\ cm/s^2，l为摆长（单位为cm）.\\\\&\ \ \ \ \ \ 设原摆长为20\ cm，为使周期T增大0.05s，摆长约需加长多少？&\end{aligned} 18. 已知单摆的振动周期T=2πgl，其中g=980 cm/s2，l为摆长（单位为cm）. 设原摆长为20 cm，为使周期T增大0.05s，摆长约需加长多少？
解：
由 Δ T ≈ d T = π g l Δ l ，得 Δ l = g l π d T ≈ g l π Δ T ，当 l = 20 时， Δ l ≈ 980 × 20 3.14 × 0.05 ≈ 2.23 c m ， 摆长约需加长 2.23 c m . \begin{aligned} &\ \ 由\Delta T \approx dT = \frac{\pi}{\sqrt{gl}}\Delta l，得\Delta l=\frac{\sqrt{gl}}{\pi}dT \approx \frac{\sqrt{gl}}{\pi}\Delta T，当l=20时，\Delta l \approx \frac{\sqrt{980 \times 20}}{3.14} \times 0.05 \approx 2.23\ cm，\\\\ &\ \ 摆长约需加长2.23cm. & \end{aligned} 由ΔT≈dT=glπΔl，得Δl=πgldT≈πglΔT，当l=20时，Δl≈3.14980×20×0.05≈2.23 cm， 摆长约需加长2.23cm.
