周期信号的傅里叶级数

1 周期信号三角形式的傅里叶级数

1.1 三角形式的傅里叶级数

广义傅里叶级数的${\phi }_i(t)$选三角函数。

设周期信号$f(t)$，其周期为$T$，角频率（基波频率）$\Omega =2\pi /T$，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可展开为三角形式的傅里叶级数。

系数$a_n,b_n$称为傅里叶系数。

由

得到$a_n,b_n$：

其中$\frac{a_0}{2}$对应1的系数，$K_i=T/2$。

知道原函数$f(t)$就知道周期$T$，然后可以求得$\Omega$

注意：积分区间不一定要$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$，只要是个整周期区间就行，比如$[0,T]$

写成$\frac{a_0}{2}$的原因：使得$a_0=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{d}t$可以包含在$a_n$里面。

$n=0$时，$b_0=0，因为sin(0\Omega t)=0$

$a_n$为$n$的偶函数，$b_n$为$n$的奇函数

1.2 狄里赫利(Dirichlet)条件

条件1：在一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点(间断点左右极限都存在)；

反例（无限个第一类间断点）：

条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应为有限个；

反例：

条件3：在一个周期内，函数绝对可积。

反例：

1.3 .余弦形式的傅里叶级数

由辅助角公式:
$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi ),\text{ 其中 }\tan \varphi =b/a$$
或：
$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x+\varphi ),\text{ 其中 }\tan \varphi =-a/b$$

含义：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。

1.4 吉布斯现象

用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。超调量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。

当选取的项数很大时，该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%，并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉布斯现象。

2 周期信号波形对称性和谐波特性

2.1 $f(t)$为偶函数

——对称于纵轴$f(t)=f(-t)$

$f(t)$为偶函数，$\sin (n\Omega t)$为奇函数，偶函数乘奇函数是奇函数，在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$积分为零。

2.2 $f(t)$为奇函数

——对称于原点 $f(t)=-f(-t)$

$f(t)$为奇函数，$cos(n\Omega t)$为偶函数，奇函数乘偶函数是奇函数，在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$积分为零。

2.3 $f(t)$为奇谐函数

——$f(t)=–f(t\pm T/2)$

其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量，即：

因为奇谐函数也是奇函数，所以也不含$\cos$项。

2.4 $f(t)$为偶谐函数

——$f(t)=f(t\pm T/2)$

其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量，即

因为偶谐函数也是偶函数，所以也不含$\sin$项。

$\cos (0)=1$

偶协函数可以看成周期为$T/2$，则基波频率为${\Omega }^{\prime }=2\pi /(T/2)=4\Omega$。

3 指数形式的傅里叶级数

欧拉公式：
$$e^{jx}=\cos x+\sin x$$
$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}$$
$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

$A_n$为偶函数，${\phi }_n$为奇函数。

$a_n$为关于$n$的偶函数，$b_n$为关于$n$的奇函数。$\frac{b_n}{a_n}$为关于$n$的奇函数，$\text{arctan}$为奇函数，${\phi }_n=奇函数（奇函数）$也为关于$n$的奇函数。

得到：

$$f(t)=\frac{1}{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{A}_n{\mathrm{e}}^{j{\phi }_n}{\mathrm{e}}^{jn\Omega t}$$

${\mathrm{e}}^{jn\Omega t}$为指数信号。

表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 $F_n$是频率为$n\Omega$的分量的系数，$F_0=A_0/2$为直流分量。

$$e^{-j2\pi n}=\cos (-2\pi n)+j\sin (-2\pi n)=1$$

4 两种傅里叶级数展开形式的关系

三角形式的傅里叶级数：

指数形式的傅里叶级数：

$$A_n=2|F_n|$$
我们要根据需要选择展开的形式。

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟