周期信号的傅里叶级数

周期信号三角形式的傅里叶级数

1.三角形式的傅里叶级数

系数an, bn称为傅里叶系数

2.狄里赫利(Dirichlet)条件：

条件1：在一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点；

条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应为有限个；

条件3：在一个周期内，函数绝对可积。

3.余弦形式的傅里叶级数

含义：周期信号可分解为直流和许多余弦分量

例：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数

解：

4.吉布斯现象

用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。超调量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的

增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。

当选取的项数很大时，该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%，并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉布斯现象。

周期信号波形对称性和谐波特性

1 . f(t)为偶函数——对称于纵轴 f(t) =f(-t)

2 . f(t)为奇函数——对称于原点 f(t) =-f(-t)

3 . f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)

其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量，即：

4 . f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t±T/2)

其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量，即：

指数形式的傅里叶级数

三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

指数形式的傅里叶级数

复傅里叶系数

表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。

Fn 是频率为nΩ的分量的系数，F0= A0/2为直流分量

例：求如图所示周期信号的指数形式的傅里叶级数

指数形式的傅里叶级数为：

两种傅里叶级数展开形式的关系

三角形式的傅里叶级数：

指数形式的傅里叶级数：

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