本文主要介绍了当前机器学习模型中广泛应用的交叉熵损失函数与softmax激励函数。

这个损失函数主要应用于多分类问题，用于衡量预测值与实际值之间的相似程度。

交叉熵损失函数定义如下: $$L_{CE}(\hat{y},y^{\ast })=-\sum _{i=1}^{Nclasses}{y}_i^{\ast }log(\widehat{y_i})$$

其中 $\hat{y}$ 为预测向量，$y^{\ast }$为真实标签向量。在多分类问题机器学习中，$y^{\ast }$ 一般使用独热编码。例如，在一个三分类问题中， $y^{\ast }$向量的维度就是三维，对应属于某一类则该位为1，其余位为0。第一类对应的真实标签向量即为$[1,0,0{]}^T$，第二类对应的真实标签向量为$[0,1,0]$ 等等以此类推。

很显然，对于这个损失函数而言，取到最小值的时候就是当求和部分取得最大值，即预测向量与标签向量相似度最大时，其乘积也最大。以下图为例，例如该类真实标签为Class2，当向量$\hat{y}$的第二项趋向于于1，此时损失函数取得最小值，我们也保证了预测值与真实值之间的误差最小了。

很显然，这里我们有两个问题，其一是为什么要使用预测值的log函数值与真实的标签相乘而不直接使用两者原始值相乘。其原因在于，由于我们的概率范围总是在0-1之间，直接获取乘积往往会使得不同的损失之间的差别不大，不利于我们进一步通过这个误差来优化我们的模型。

第二个问题是，如何保证预测向量满足概率分布。我们都知道标签向量$y^{\ast }$ 由于使用了独热编码，因此他永远满足概率分布即$\sum p(x)=1$，但是我们的预测向量 $\hat{y}$ 却不一定。这里就要用到我们的softmax激励函数了。简单的来说，softmax函数就帮助我们将一个随机数值的向量，转化为了一个所有值在0-1之间，且和为1的向量，以满足概率分布关系。softmax函数的定义如下: $$y_{t,k}=\frac{e^{(y_{t,k})}}{{\sum }_k{e}^{(y_{t,k})}}$$
其中下标t对应第t个样本，k对应输出层的第k个神经元。softmax函数首先将所有输出层神经元对应的值通过指数函数转换为正值，再通过归一化处理，除以他们的指数函数值之和，以保证所有项对应的值之和为1。

通过softmax函数构建概率分布再通过交叉熵，我们就构建了交叉熵损失函数。