数字 一阶低通滤波器 详细分析

作者：冰三点水

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事件的起因是下图1，朋友偶然说到一阶低通滤波器，借此来详细介绍一阶低通滤波器的原理，并附上matlab仿真程序代码。图1中的一阶低通数字滤波器的公式为Eq(1)：

y(n) = q*x(n) + (1-q)*y(n-1)    Eq(1)

其中，y(n)表示当前的输出，x(n)表示当前的输入，y(n-1)表示上一次的输出（图1中的符号不标准，因为一般时域用小写，频域或Z域用大写）。Eq(1)为差分方程，在分析离散系统时常用差分方程，而求解差分方程通常在z域实现，z变换使问题分析变得简单。这是一个IIR滤波器，那什么是FIR滤波器？什么是IIR滤波器呢？FIR滤波器是有限输入有限输出，换句话说当输入为0时输出也为0，系统无反馈；而IIR滤波器在输入为0时也可以有输出，由于增加了反馈回路，系统有不稳定发散的可能，因此IIR的分析要比FIR复杂一点。

                                            图1

我们将公式Eq(1)进行z变换得到z域传递函数。见Eq(2)，注意其中z域的大写，我们要符合规范。根据Eq(2)，系统具有一个极点z=1-q和一个零点z=0，我们这里关心的是极点。当极点处于z域单位圆内时，系统是稳定的，否则系统为不稳定系统会发散。单位圆是个重要的概念，z域的单位圆等同于s域的虚轴向左卷绕成z域的单位圆(s域中极点处于虚轴左边系统稳定)。分析z域的幅频响应(IIR的相位非线性这里不表)是在单位圆上进行的，z=r*exp(jw)，单位圆上模值为1，所以z=exp(jw)(e的j*w次幂)，根据欧拉公式

exp(jw) = cos(w)+j*sin(w)，我们得到Eq(3)。我们可以借助matlab来方便的求出H(w)的幅频响应，后面会给出代码，我们先来看结果见图2.

当q和采样时间的参数和图1保持一致时(q=0.0565 fs=3.333k即300us)，幅频响应见图2，在横坐标为30hz时的幅值为0.708约等于0.707(-3dB点)，我们简单分析一下图2，一阶低通滤波器的通带。。。。额。。图中看着比较窄，而且不平坦和理想一阶低通滤波器相比差距明显，但是对于高频干扰抑制效果明显，而且简单易实现，很多单片机应用中就会使用此滤波器。图3为matlab代码，具体c语言代码实现数字一阶低通滤波器网上很多，这里不贴，matlab代码链接为：http://download.csdn.net/download/u013608300/10160717

                                                                    图2

                                                              图3

下面是对加躁的正弦信号进行仿真的部分。

图4是仿真使用的代码

                                                  图4 时域仿真代码

图5是仿真的时域结果，其中黑色线是理想信号，红色线是带躁信号，蓝色线是去噪后的信号，由于使用一阶低通滤波器后的信号波形和理想波形比较接近，所以图5中识别的不是很清晰。图6是结果局部示意图，这样可以清晰地看到理想信号、滤波前的带躁信号和滤波后的“干净”信号的时域波形情况。

                                                                 图5 理想信号、带躁信号、去噪信号

                                                                      图6 理想信号、带躁信号、去噪信号

不足之处请指正，在下当虚心接受。

你虽然跑得比别人慢，但你可以跑得比别人远。——冰三点水

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