LU分解是将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。矩阵可以不是NxN的矩阵
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。
目前，在任意域上一个方块矩阵可进行LU分解的充要条件已经被发现，这些充要条件可以用某些特定子矩阵的秩表示。用高斯消元法来得到LU分解的算法也可以扩张到任意域上。
任意矩阵A（不仅仅是方块矩阵）都可以进行LUP分解。其中的L和U矩阵是方阵，P矩阵则与A形状一样。
这里给出高斯消元法的思想
Matrix A (M x N)
for(column index i from 1 to N){select max(A[i][i...M]), swap to row i //第i列中从第i行到第N行绝对值最大值元素的行作为第i行if(A[i][i] is not zero){for(row index j from i + 1 to M){A[j][i] /= A[i][i]for(column index k from i + 1 to N){A[j][k] -= A[j][i] * A[i][k]}}}
}
L如下1, 0, 0, ... , 0
A[21], 1, 0, ... , 0
A[31], A[32], 1, ... , 0
A[41], A[42], A[43], ..., 0
... ...
A[m1], A[m2], A[m3], ..., 1U如下A[11], A[12], A[13], ..., A[1n]
0, A[22], A[23], ..., A[2n]
0, 0, A[33], ..., A[3n]
0, 0, 0, ... , A[4n]
... ...
0, 0, 0, ... , A[mn]下面给出实现，摘自JAMA
// Initialize.LU = A.getArrayCopy();m = A.getRowDimension();n = A.getColumnDimension();piv = new int[m];for (int i = 0; i < m; i++) {piv[i] = i;}pivsign = 1;// Main loop.for (int k = 0; k < n; k++) {// Find pivot.int p = k;for (int i = k+1; i < m; i++) {if (Math.abs(LU[i][k]) > Math.abs(LU[p][k])) {p = i;}}// Exchange if necessary.if (p != k) {for (int j = 0; j < n; j++) {double t = LU[p][j]; LU[p][j] = LU[k][j]; LU[k][j] = t;}int t = piv[p]; piv[p] = piv[k]; piv[k] = t;pivsign = -pivsign;}// Compute multipliers and eliminate k-th column.if (LU[k][k] != 0.0) {for (int i = k+1; i < m; i++) {LU[i][k] /= LU[k][k];for (int j = k+1; j < n; j++) {LU[i][j] -= LU[i][k]*LU[k][j];}}}}由于Java对点乘支持的问题，上述方法在JAMA中并没有使用，而是使用了Crout/Doolittle算法，描述如下：
根据上述写的代码如下
for(int a = 0; a < length; a++){for(int b = 0; b < length; b++){double sum = 0.0;if(a <= b){for(int i = 0; i < a; i++){sum += l[a][i] * u[i][b];}u[a][b] = matrix[a][b] - sum;}else{for(int i = 0; i < b; i++){sum += l[a][i] * u[i][b];}l[a][b] = (matrix[a][b] - sum) / u[b][b];}}}
