LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

主要的算法思路是从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这个单位下三角矩阵就是L.而变换最后得到的上三角矩阵就是U.
分解算法如下：（其中 alpha 代表 L矩阵的元素，beta代表U矩阵的元素）


Matlab实现：

% find the LU factorization of the matrix
% input:
%   a: the matrix need to be factorize
%   n: the number of the low or column in the matrix
% output:
%   no output
function LU(a,n)
m = zeros(n,n);             % initial the n*n matrix m zeros 
for i = 1:n;     m(i,i) = 1;  end   % let the diagonal elements be 1 
for j = 1 : n-1if abs(a(j,j))<eps; error('zero pivot encountered');    % when the zero pivot happens,end the processendfor i = j+1 : nmult = a(i,j)/a(j,j);m(i,j) = mult;  for k = j:na(i,k) = a(i,k) - mult*a(j,k);endend
end
disp('  L=');  disp(m);
disp('  U=');  disp(a);
disp('  LU='); disp(m*a);          % to check if the result is right

其实Matlab也内置有LU分解的函数，说明如下：

• [L,U] = lu(A)
  将矩阵A分解的上三角矩阵保存在U当中，将一个“心理学上的”下三角矩阵（例如一个下三角矩阵和置换矩阵的乘积）保存在L中，满足
  A=L*U，注意A不必须是方阵。
• [L,U,P] = lu(A)
  返回三个矩阵，下三角矩阵L、上三角矩阵U和一个置换矩阵P，满足P*A=L*U。
• [L,U,p] = lu(A,’vector’)
  将使用向量而不是矩阵的方式返回置换信息，p是一个行向量，满足A(p,:) = L*U，如果使用[L,U,P] = lu(A,’matrix’)则返回的P是向量，这也是默认的形式