相关图可以大致判断序列是否平稳。但是，这毕竟不是严格的。

这篇笔记来就谈一谈平稳性的检验。

到目前为止，我们有了以下的时间序列模型：

• 白噪声；
• 随机游走；
• AR模型；
• MA模型；
• ARMA模型。

我们知道白噪声、MA模型一定是平稳的（这里的平稳都是弱平稳）；随机游走一定是不平稳的；ARMA模型取决于其AR部分。

所以唯一需要做平稳性检验的就是AR模型。

1、单位根检验

先来看一阶AR模型，即AR(1)的情况，其模型如下：

$$r_t={\alpha }_1{r}_{t-1}+w_t$$

如果${\alpha }_1=1$，该模型就是随机游走，我们知道它是不平稳的。换个思路想象一下，当${\alpha }_1=1$，那么前一时刻的收益率对当下时刻的影响是100%的，不会减弱；那么就算是很远的某个时刻，当下对它的影响还是不会消除，所以方差（表现在波动）是受前面所有时刻的影响，是和$t$相关的，因此不平稳；

如果${\alpha }_1>1$，那么当前时刻的波动不仅受前面时刻的影响，还被放大了，所以肯定不平稳；

只有当${\alpha }_1<1$的时候，前面时刻的波动对当前时刻的影响会逐渐减小。可以计算此时的自协方差以及自相关系数是一个固定值。所以这种情况下，序列是平稳的。

对于高阶的AR模型也是一样的，一个AR （P）阶 模型如下：

$$r_t=\sum _{i=1}^P{\alpha }_i{r}_{t-i}+w_t$$

如果${\alpha }_1,...,{\alpha }_2$都小于1，那么这个序列是平稳的；存在某一个${\alpha }_i\ge 1$，这个序列就不是平稳的。

要判断${\alpha }_1,...,{\alpha }_2$是否都小于1，一般利用AR模型的特征方程，如下：

$$1-{\alpha }_{1}x-{\alpha }_2{x}^2-...-{\alpha }_p{x}^p=0$$

这个方程有p个根。

检验AR序列是否平稳，就是检验是否存在某个根大于等于1。这个过程叫单位根检验。

2、ADF检验

单位根检验有诸多方法，其中较为经典是ADF检验。

ADF检验的全称是Augmented Dickey-Fuller test，它是Dickey-Fuller（DF）检验的扩展。DF检验只能应用于一阶AR模型的情况。当序列为高阶时，存在滞后相关性，于是可以使用更适用的ADF检验。

整个检验过程涉及到很多数学和统计学处理，在此不详述，下面直接看在Python中如何使用吧。

3、指数走势的检验

我们还是采用从第1篇笔记就采用的数据，即沪深300于2018年1月1日至2019年12月13日的走势。

其走势如下：

prices = get_price('000300.XSHG', start_date='2018-01-01', end_date='2019-12-13', frequency='daily', fields='close')
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_axes([0.2, 0.2, 1.2, 1.2])ax.plot(prices, color="blue", linewidth=1.5, linestyle="-", label=r'hs300')
plt.legend(loc='upper right', frameon=False)

采用statsmodels中的相关包对序列prices进行检验：

from statsmodels.stats.diagnostic import unitroot_adfunitroot_adf(prices.close)

或者采用下面的函数，一样的：

from statsmodels.tsa.stattools import adfulleradfuller(prices.close)

结果如下：

(-1.932446672214747,0.3169544458085871,9,465,{'1%': -3.4444914328761977,'5%': -2.8677756786103683,'10%': -2.570091378194011},4819.095453869604)

上述取值分别为：

• t-检验值；
• P-Value
• 滞后阶数（lags）
• 样本数
• 1%,5%,10%的边界值
• 最大信息准则（参数中autolag需不为None）

ADF检验基于统计中的假设检验方式，利用t-检验来观测显著性。这些细节不介绍了。

上述结果可以这样来看，如果

• t-检验值大于某个临界值，那么在这个临界值以内序列的不平稳性比较显著；
• 或者，p-Value大于某个临界值的百分位（即，1%,5%,10%），那么序列的不平稳性比较显著。

我们看到上面的结果，t-检验值明显大于10%的临界值，p-Value明显大于10%。

所以上面的指数走势序列是显著的不平稳的。我们在第2篇笔记说走势序列近似于随机游走，所以这个检验结果符合预期。

4、对数收益率序列检验

我们同样针对沪深300于2018年1月1日至2019年12月13日的日对数收益率序列进行检验。

import pandas as pd
import mathprices = get_price('000300.XSHG', start_date='2018-01-01', end_date='2019-12-13', frequency='daily', fields='close')returns = {'return':{}}
for i in range(len(prices)):current_price = prices.iloc[i,0]if i == 0:current_return = 0else:last_price = prices.iloc[i-1,0]current_return = math.log(current_price)-math.log(last_price)date = list(prices.index)[i]returns['return'][date] = current_return
return_df = pd.DataFrame(returns, columns=['return'], index=list(prices.index))fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_axes([0.2, 0.2, 1.2, 1.2])
ax.plot(return_df, color="blue", linewidth=1.5, linestyle="-", label=r'hs300-daily-log-returns')
plt.legend(loc='upper right', frameon=False)

检验结果如下：

unitroot_adf(return_df.loc[:,'return'])

(-6.9332827227876,1.070439257686785e-09,8,466,{'1%': -3.4444609168389615,'5%': -2.8677622536920317,'10%': -2.5700842229549266},-2646.8267439593874)

这个结果里，t-检验值远小于1%的临界值，P-Value也远小于1%。所以，序列没有显著的不平稳性。因而我们可以认为该序列是平稳的。

这里要注意的一点是：当我们采用ADF进行检验的时候，我们实际上已经假设用AR模型对序列进行建模了。