谱聚类（Spectral Clustering）算法简单易行，其聚类性能优于传统的K-means算法。谱聚类将数据的划分转化为对图的分割，是一种基于图论的聚类方法，其直观理解为根据图内点的相似度将图分为多个子图，使子图内部的点相似度最高，子图之间点的相似度最低。

1. 图论基础

1.1 图的表示

  记$G = (V, E)$表示一个无向加权图，$V$表示所有顶点的集合$V=\{v_1,...,v_n\}$，$E$表示所有边的集合，并且任意两点$v_i$和$v_j$的边具有非负权值$w_{ij}\geq0$。图的邻接矩阵为$W=(w_{ij})_{i,j=1,...,n}$，如果$w_{ij}=0$则表示点$v_i$和$v_j$之间没有连接。由于$G$为无向图，所以其邻接矩阵具有对称性，即$w_{ij}=w_{ij}$。图中任一点$v_i$的度为$d_i=\sum_{j=1}^nw_{ij}$，表示一个点与其他所有点的连接情况，图的度矩阵$D$为每个点的度所构成的对角矩阵$D=diag\{d_1,...,d_n\}$。

1.2 相似度图的构造方法

  给定一组数据集$V=\{v_1,...,v_n\}$，将其构造为相似度图的意义在于描述点对之间的局部近邻关系。此处介绍三种构造相似度图的方法。
  （1）ε近邻图。如果两点之间的距离小于给定值ε，则连接两点。ε的值需要根据图中各点的距离选择，使与某一点连接的点不会太多，也不会太少。
  （2）$k$近邻图。如果点$v_j$是$v_i$的$k$近邻点之一，则连接两点。由于近邻点的非相互性，按此方法构造的邻接矩阵不对称，一种方法是采取“或”的方式，即如果$v_j$是$v_i$的$k$近邻点之一，或$v_i$是$v_j$的$k$近邻点之一，则连接两点；另一种方法是采取“与”的方式，如果$v_j$是$v_i$的k近邻点之一，并且$v_i$是$v_j$的k近邻点之一，则连接两点。
  （3）全连接图。不考虑任何因素，直接将所有的点两两相连，由于图表示点之间的局部邻接特性，常用的相似性函数为$s(x_i,x_j)=exp(-\dfrac{\|x_i-x_j\|^2}{2\sigma^2})$。

1.3 图的Laplacian矩阵

  这里我们要讲到谱聚类中的关键内容——拉普拉斯矩阵，其定义为$L=D – W$，其中$D$和$W$就是上文定义的图的度矩阵和邻接矩阵。下面我们给出谱聚类中用到的拉普拉斯矩阵的一些性质。
  （1）对任意的向量$f \in \mathbb{R}^n$，有$f^TLf=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^nw_{ij}(f_i-f_j)^2$。
  证明：（此处用到了W的对称性）

$$\begin{array}{l} {f^T}Lf &= {f^T}Df - {f^T}Wf \\ &= \sum\limits_{i = 1}^n {f_i^2{d_i}} - \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_{ij}}{f_i}{f_j}} \\ & = \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_{ij}}f_i^2} - \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_{ij}}{f_i}{f_j}} \\ & = \frac{1}{2}\left( {\sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_{ij}}f_i^2} + \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_{ij}}f_j^2} } \right) - \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_{ij}}{f_i}{f_j}} \\&= \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_{ij}}{{\left( {{f_i} - {f_j}} \right)}^2}} \end{array}$$
（2） $L$是对称半正定矩阵，该性质可由（1）直接得到。
（3）$L$的最小特征值为 $0$，对应的特征向量为常数向量$1$，即 $L$的行和或列和为$0$。
（4）本文假设 $L$的特征值按照从小到大的顺序排列，$0={\lambda}_1 \le ... \le \lambda_n$。
  此外，还有normalized Laplacian，分别定义为
$L_{sym}=D^{-\frac{1}{2}}LD^{-\frac{1}{2}}=I-D^{-\frac{1}{2}}WD^{-\frac{1}{2}}$，和 $L_{rm}=D^{-1}L=I-D^{-1}W$，其中两个下标sym和rw分别代表symmetric和random walk，此处不再介绍这两个矩阵的性质。

2. 谱聚类算法

2.1 图的分割问题

  谱聚类算法源于图的分割（cut），首先将所有的样本点连接成图，然后将图分割成不同的子图，使得不同子图之间的连接权值最小。
  定义两个子图之间的连接权值为$W(A,B)=\sum_{i \in A,j \in B}w_{ij}$，记$\overline{A}$为$A$的补集，为了表达方便，我们记$v_i \in A$为$i \in A$。如果将图分割为$k$个子图$A_1,...,A_k$，那么最优分割问题可通过最小化如下表达式来实现：

$$\begin{array}{c} cut(A_1,...,A_k)=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^k W(A_i,\overline{A_i})\end{array}$$    然而，此优化问题通常不能生成有效的分割，它会将图中的一个点与其余 $n-1$个点分割开来，如下图所示，导致图的分割不均衡。

解决该问题的有效办法是让每个子图都有合理的大小，子图大小的度量方式不同就会得出不同的最小分割问题，常用的两种方法是RaioCut和Normalized Cut，分别如下：
$RatioCut(A_1,...,A_k)=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^k\dfrac{W(A_i,\overline{A_i})}{|A_i|}=\sum\limits_{i=1}^k\dfrac{cut(A_i,\overline{A_i})}{|A_i|}$
$Ncut(A_1,...,A_k)=\dfrac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^k \dfrac{W(A_i,\overline{A_i})}{vol(A_i)}=\sum\limits_{i=1}^k \dfrac{cut(A_i,\overline{A_i})}{vol(A_i)}$
这两个目标函数均将子图的大小作为分母，这样就可以使每个子图不会太小，其中RatioCut以子图中点的个数 $|A_i|$作为子图大小的度量，Normalized Cut以子图内所有点的度的和作为子图大小的衡量，即 $vol(A_i)=\sum\limits_{j \in A_i}d_j$。
  下面我们分别讨论RatioCut和Normalized Cut是如何通过谱聚类来求解的。

2.2 求解RatioCut

  首先从二聚类问题开始分析，其目标函数为最小化

$RatioCut(A,\overline{A})=cut(A,\overline{A})(\dfrac{1}{|A|}+\dfrac{1}{|\overline{A}|})$
定义向量 $f=(f_1,...,f_n)^T \in \mathbb{R}^n$，其每个元素的定义如下：
$f_i=\begin{cases} \sqrt{{|\overline{A}|}/{|A|}} & {if \quad v_i \in A} \\ -\sqrt{|A|/{|\overline{A}|}} & if \quad v_i \in \overline{A}\end{cases}$
结合图的Laplacian矩阵，我们可以得到RatioCut问题，推导过程如下：

${f^T}Lf = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_{ij}}{{\left( {{f_i} - {f_j}} \right)}^2}} \\= \dfrac{1}{2}\sum\limits_{i \in A,j \in \bar A} {{w_{ij}}{{\left( {\sqrt {\dfrac{{\left| {\bar A} \right|}}{{\left| A \right|}}} + \sqrt {\dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| {\bar A} \right|}}} } \right)}^2}} + \dfrac{1}{2}\sum\limits_{i \in \bar A,j \in A} {{w_{ij}}{{\left( { - \sqrt {\dfrac{{\left| {\bar A} \right|}}{{\left| A \right|}}} - \sqrt {\dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| {\bar A} \right|}}} } \right)}^2}} \\= \dfrac{1}{2}\sum\limits_{i \in A,j \in \bar A} {{w_{ij}}\left( {\dfrac{{\left| {\bar A} \right|}}{{\left| A \right|}} + \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| {\bar A} \right|}} + 2} \right)} + \dfrac{1}{2}\sum\limits_{i \in \bar A,j \in A} {{w_{ij}}\left( {\dfrac{{\left| {\bar A} \right|}}{{\left| A \right|}} + \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| {\bar A} \right|}} + 2} \right)} \\= \dfrac{1}{2}\left( {\sum\limits_{i \in A,j \in \bar A} {{w_{ij}}} + \sum\limits_{i \in \bar A,j \in A} {{w_{ij}}} } \right)\left( {\dfrac{{\left| {\bar A} \right|}}{{\left| A \right|}} + \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| {\bar A} \right|}} + 2} \right)\\ = cut\left( {A,\bar A} \right)\left( {\dfrac{{\left| {\bar A} \right| + \left| A \right|}}{{\left| A \right|}} + \dfrac{{\left| A \right| + \left| {\bar A} \right|}}{{\left| {\bar A} \right|}}} \right)\\= \left| V \right|cut\left( {A,\bar A} \right)\left( {\dfrac{1}{{\left| A \right|}} + \dfrac{1}{{\left| {\bar A} \right|}}} \right) \\= \left| V \right|RatioCut\left( {A,\bar A} \right)$
其中，$|V|$表示所有点的个数，给定样本点后，$|V|$是个常数。
  因为，求解RatioCut问题可以转变为最小化$f^TLf$的问题，其中$f$的取值如上面所定义，然而，该离散优化问题是NP-hard，因此，我们将其进行松弛，使$f_i$能够取任意实数。同时，为了和原问题尽量保持一致，我们加入$f$的两个约束，$f \perp \overrightarrow{1}$和$\|f\|=\sqrt{n}$，这两个约束可从$f$的定义得到。最后，二聚类问题就转化成了有约束的优化问题：

$\underset{f \in \mathbb{R}^n}{min} f^TLf \\s.t. \quad f \perp \overrightarrow{1}, \|f\|=\sqrt{n}$
根据Rayleigh-Ritz定理可知，该问题的解为Laplacian矩阵$L$的最小特征值所对应的特征向量，由于$L$的最小特征值为$0$，对应的特征向量为常数向量$1$，不满足约束条件，因此，应取第$2$小的特征值所对应的特征向量。
求解上述优化问题后，要将数据集分为$2$个簇，我们可简单地采取如下的方式：

$$\begin{cases} v_i \in A & {\text{if} \quad f_i \geq 0} \\ v_i \in \overline(A) & {\text{if} \quad f_i < 0} \end{cases}$$   上述的二聚类问题可以很容易地推广到 $k$聚类问题，如果将一个数据集分为$k$个子集 $A_i,...,A_k$，首先定义 $k$个示性向量$H=(h_1,...,h_k)^T$，其中

$h_{ij} =\begin{cases} 1/\sqrt{|A_j|} & \text{if} \quad v_i \in A_j \\ 0 & otherwise\end{cases} , \quad i = 1,...,n; j = 1,...,k$

由该定义可知，$H$的列相互正交，即$H^TH=I$。类似上面的推导（此处不再给出详细过程）：

$h_j^TLh_j=\dfrac{cut(A_j,\overline{A_j})}{|A_j|}$
此外， $h_j^TLh_j =(H^TLH)_{jj}$，因此

$RatioCut(A_1,...,A_k)=\sum\limits_{j=1}^k h_j^TLh_j = \sum\limits_{j=1}^k (H^TLH)_{jj} = Tr(H^TLH)$
所以，多聚类的RatioCut问题可以转化为最小化 $Tr(H^TLH)$的问题， $H$的取值如上面所定义。同样，我们将该NP-hard问题松弛，使$H$的元素取任意实数，松弛问题就变为：

$\underset{H \in \mathbb{R}^{n\times k}}{min} Tr(H^TLH), \quad s.t. \quad H^TH = I$
这是标准的迹最小化问题，其解为 $L$的的前$k$个特征向量所构成的矩阵。最后采用k-means方法对该矩阵的行进行聚类，就可以实现对该数据集的 $k$聚类。

2.3 求解Normalized Cut

  类似于RatioCut，下面我们简要给出Normalized Cut的实现过程。
首先分析二聚类的情况，定义示性函数如下：

$f_i=\begin{cases} \sqrt{vol(\overline{A})/vol(A)} & \text{if} \quad v_i \in A \\ -\sqrt{vol(A)/vol(\overline{A})} & \text{if} \quad v_i \in \overline{A} \end{cases}$
按照该定义， $f$具有性质$(Df)^T \overrightarrow{1}=0$和 $f^TDf = vol(V)$，并且可以证明 $f^TLf = vol(V)Ncut(A,\overline{A})$，加上松弛条件，使 $f$可以取任意实数向量，Normalized Cut可以转化成有约束的优化问题
$\underset{f \in \mathbb{R}^n}{min}f^TLf, \quad s.t. \quad Df \perp \overrightarrow{1}, \quad f^TDf = vol(V)$
  该问题需要求解广义特征向量问题 $Lf = \lambda Df$， $f$取$L$的第二小的广义特征值对应的特征向量。
  再扩展到 $k$聚类问题，定义$k$个示性向量 $H = (h_1,...,h_k)^T$，其中

$h_{ij} = \begin{cases} 1/\sqrt{vol(A_j)} & \text{if} \quad v_i \in A_j \\ 0 & otherwise\end{cases}, \quad i = 1,...,n; j = 1,...,k$
按照该定义， $H$具有性质$h_j^T D h_j=1$，那么 $H^TDH=I$，并且可以证明

$h_j^T L h_j=cut(A_j,\overline{A_j})/vol(A_j)$
因此， $Ncut(A_1,...,A_k)=Tr(H^T L H)$，加上松弛条件，使 $H$的元素可以取任意实数，Normalized Cut就可以转化为如下有约束的优化问题：

$\underset{H \in \mathbb{R}^{n \times k}}{min} Tr(H^TLH) \quad s.t. \quad H^TDH = I$
该问题的解为广义特征值问题 $Lh = \lambda Dh$的前 $k$个特征向量所构成的矩阵。最后采用k-means方法对该矩阵的行进行聚类，就可以实现对该数据集的$k$聚类。

2.4 小结

  针对以上两种图分割方法，谱聚类算法的步骤如下：
  Step1：将每个样本看做图的顶点，构造无向加权图；
  Step2：计算图的邻接矩阵W和拉普拉斯矩阵L；
  Step3：根据图的分割准则计算拉普拉斯矩阵的前k个特征向量；
  Step4：将拉普拉斯矩阵的前k个特征向量构成矩阵Y，把Y的每一行看做一个样本，然后用k-means方法对Y进行聚类。

3. 总结

  谱聚类相当于先进行非线性降维，使原始数据点能够线性可分，最后再使用k-means聚类就可以得到比较好的聚类效果。
  谱聚类算法也存在以下几点不足：
  （1） 谱聚类的松弛条件是对原问题的一个近似，但是并不能保证该近似是合适的，其误差有可能非常大，而且导致聚类问题不稳定；
  （2） 构造相似度矩阵的尺度参数根据经验设定，尺度参数的选择对聚类效果影响较大；
  （3） 同其他聚类方法一样，聚类数目的选择难以确定；
  （4） 根据图最小分割的目标函数可知，谱聚类适用于均衡分类问题，即各簇之间点的个数相差不大，对于簇之间点个数相差悬殊的聚类问题，谱聚类则不适用。
  以下一组图均为采用谱聚类方法进行聚类的结果，左侧一列的数据点个数分布比较均衡，聚类效果比较好，可以看出，右侧一列数据点的分布不均衡，谱聚类算法仍然将数据分成几个均衡的簇，而不能体现数据的分布结构。