谱聚类算法简单理解

article/2025/10/9 0:07:47

一、算法思想

谱聚类是基于图论的知识所演化出的算法，在聚类中广泛使用。主要思想是将所有的数据看成空间中的点，这些点之间可以用边连接起来，距离较远的两点之间边的权重值较低，距离较近的两点间边的权重值较高，然后通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后不同子图间边的权重之和尽可能低，子图内边的权重之和尽可能高，从而达到聚类的目的。

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图一

二、基础知识

1、无向权重图

对于一个图G，我们定义点的集合V和边的集合E来描述，记为G(V,E)，其中V=（v1, v2,...,vn）。定义wij是点vi和vj之间的权重，对于无向图，则有wij=wji。若两点vi和vj之间有边连接，则wij>0，若没有则wij=0。图中任意一点vi的度di就是与之相连的所有边的权重之和，即

$d_{i}=\sum _{j=1}^{n}w_{ij}$

接着，我们利用所有点的度构建一个NxN的度矩阵D，它是一个对角矩阵，定义如下

利用所有点之间的权重值，我们可以得到一个NxN的邻接矩阵，wij就是我们邻接矩阵第i行和第j列的权重wij。

2、相似度矩阵

事实上，在谱聚类中我们并没有直接给出权重，因此无法直接构建邻接矩阵。因此，在谱聚类中的基本思想是，距离较远的两点之间权重值较低，距离近的权重值较高，在定量的给定权重值时，我们是通过样本点距离度量的相似度矩阵S来得到邻接矩阵W的。为了得到相似度矩阵，从而求出W，我们一般有三类方法： $\epsilon$ -近邻法，k-近邻法和全连接法。

(1)对于 $\epsilon$ -近邻法，设置一个距离阈值 $\epsilon$ ，然后用欧氏距离Sij度量任意两点间的距离，即相似度矩阵 $s_{ij}=\left \| x_{i}-x_{j}\right \|_{2}^{2}$ ，然后根据sij和 $\epsilon$ 的大小关系，来定义邻接矩阵W如下：

(2)对于k近邻法，我们利用KNN算法遍历所有样本点，取每个样本最近的k个点作为近邻，只有和样本距离最近的k个点之间的wij>0，但这种方法造成重构后的邻接矩阵W不是堆成的，，为解决这一问题，可以使用如下两种方法来解决：

(3)对于全连接法（使用最普遍），由于所有点之间的权重都大于0，所以叫全连接法。我们使用不同的核函数来定义边权重，常用的有多项式核函数，高斯核函数和Sigmoid核函数，最常用的是高斯核函数RBF，此时相似度矩阵和邻接矩阵相同：

3、拉普拉斯矩阵

拉普拉斯矩阵的定义是L=D-W。D为度矩阵，W为邻接矩阵。拉普拉斯具有一些较好的性质，如下：

（1）是对称矩阵

（2）所有的特征值都是实数

（3）对于任意向量Z,有：

（4）是半正定的，且对应的n个实数特征值都大于等于0，且最小的特征值为0,。

4、无向图切图

对于无向图G进行切图，将图切成k个子图，每个子图点的集合为A1,A2,...,Ak,满足

对任意两个字图A和B，我们定义它们之间的切图权重为：

对于k个子图点的集合：A1,A2,...Ak，我们定义切图为：

但是如何使得子图内权重高，子图间权重低，我们需要运用谱聚类的方法进行切图，找到最优化方法。

三、谱聚类操作

1、Normarized cut方法

该方法同时考虑最小化cut边和划分平衡，以免出现图一种的单独H的情况，划分标准是：子图各个端点的度之和。

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2、Min cut方法

如上述方法中的计算方法，优化目标函数如下：

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3、Ratio Cut方法

该方法同时考虑最小化cut边和划分平衡，最优化目标函数为：

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四、算法流程

1、构建相似度矩阵S

2、根据相似度矩阵构建邻接矩阵W和度矩阵D

3、计算拉普拉斯矩阵L，并求出标准化后的拉普拉斯矩阵D-1/2LD-1/2

4、计算D-1/2LD-1/2最小的k1个特征值所对应的特征向量f，并对f组成的矩阵按行标准化，最终组成nxk1维的特征矩阵F

5、将F中的每一行作为一个样本，共n个样本，使用聚类方法进行聚类，聚类维数为k2

6、得到簇划分C(c1,c2,...,ck2)

五、补充

上面，我们讲了拉普拉斯矩阵是通过L=D-W来构造，拉普拉斯矩阵还可以通过相似度矩阵来构造，方法如下：

相似度矩阵是由权值矩阵得到的：

其中，然后利用相似度矩阵S构造Laplacian矩阵：

注：在第一种方法中，求解的是Laplacian矩阵的前 $k$ 个最小特征值对应的特征向量，在第二种方法中，求解的是Laplacian矩阵的前 $k$ 个最大特征值对应的特征向量

谱聚类算法的主要优点有：
1）谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到
2）由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好。
谱聚类算法的主要缺点有：
1）如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好。

2）聚类效果依赖于相似矩阵，不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。

参考：

https://www.cnblogs.com/pinard/p/6221564.html

https://www.cnblogs.com/sparkwen/p/3155850.html