13 | 数据变换：考试成绩要求正态分布合理么？

上一讲中我给你讲了数据集成，今天我来讲下数据变换。
如果一个人在百分制的考试中得了 95 分，你肯定会认为他学习成绩很好，如果得了 65 分，就会觉得他成绩不好。如果得了 80 分呢？你会觉得他成绩中等，因为在班级里这属于大部分人的情况。
为什么会有这样的认知呢？这是因为我们从小到大的考试成绩基本上都会满足正态分布的情况。什么是正态分布呢？正态分布也叫作常态分布，就是正常的状态下，呈现的分布情况。
比如你可能会问班里的考试成绩是怎样的？这里其实指的是大部分同学的成绩如何。以下图为例，在正态分布中，大部分人的成绩会集中在中间的区域，少部分人处于两头的位置。正态分布的另一个好处就是，如果你知道了自己的成绩，和整体的正态分布情况，就可以知道自己的成绩在全班中的位置。

另一个典型的例子就是，美国 SAT 考试成绩也符合正态分布。而且美国本科的申请，需要中国高中生的 GPA 在 80 分以上（百分制的成绩），背后的理由也是默认考试成绩属于正态分布的情况。
为了让成绩符合正态分布，出题老师是怎么做的呢？他们通常可以把考题分成三类：
第一类：基础题，占总分 70%，基本上属于送分题；
第二类：灵活题，基础范围内 + 一定的灵活性，占 20%；
第三类：难题，涉及知识面较广的难题，占 10%；
那么，你想下，如果一个出题老师没有按照上面的标准来出题，而是将第三类难题比重占到了 70%，也就是我们说的“超纲”，结果会是怎样呢？
你会发现，大部分人成绩都“不及格”，最后在大家激烈的讨论声中，老师会将考试成绩做规范化处理，从而让成绩满足正态分布的情况。因为只有这样，成绩才更具有比较性。所以正态分布的成绩，不仅可以让你了解全班整体的情况，还能了解每个人的成绩在全班中的位置。

数据变换在数据分析中的角色

我们再来举个例子，假设 A 考了 80 分，B 也考了 80 分，但前者是百分制，后者 500 分是满分，如果我们把从这两个渠道收集上来的数据进行集成、挖掘，就算使用效率再高的算法，结果也不是正确的。因为这两个渠道的分数代表的含义完全不同。
所以说，有时候数据变换比算法选择更重要，数据错了，算法再正确也是错的。你现在可以理解为什么 80% 的工作时间会花在前期的数据准备上了吧。
那么如何让不同渠道的数据统一到一个目标数据库里呢？这样就用到了数据变换。
在数据变换前，我们需要先对字段进行筛选，然后对数据进行探索和相关性分析，接着是选择算法模型（这里暂时不需要进行模型计算），然后针对算法模型对数据的需求进行数据变换，从而完成数据挖掘前的准备工作。

所以你从整个流程中可以看出，数据变换是数据准备的重要环节，它通过数据平滑、数据聚集、数据概化和规范化等方式将数据转换成适用于数据挖掘的形式。
我来介绍下这些常见的变换方法：
1.数据平滑：去除数据中的噪声，将连续数据离散化。这里可以采用分箱、聚类和回归的方式进行数据平滑，我会在后面给你讲解聚类和回归这两个算法；

2.数据聚集：对数据进行汇总，在 SQL 中有一些聚集函数可以供我们操作，比如 Max() 反馈某个字段的数值最大值，Sum() 返回某个字段的数值总和；

3.数据概化：将数据由较低的概念抽象成为较高的概念，减少数据复杂度，即用更高的概念替代更低的概念。比如说上海、杭州、深圳、北京可以概化为中国。

4.数据规范化：使属性数据按比例缩放，这样就将原来的数值映射到一个新的特定区域中。常用的方法有最小—最大规范化、Z—score 规范化、按小数定标规范化等，我会在后面给你讲到这些方法的使用；属性构造：构造出新的属性并添加到属性集中。这里会用到特征工程的知识，因为通过属性与属性的连接构造新的属性，其实就是特征工程。比如说，数据表中统计每个人的英语、语文和数学成绩，你可以构造一个“总和”这个属性，来作为新属性。这样“总和”这个属性就可以用到后续的数据挖掘计算中。在这些变换方法中，最简单易用的就是对数据进行规范化处理。下面我来给你讲下如何对数据进行规范化处理。

数据规范化的几种方法

1. Min-max 规范化

Min-max 规范化方法是将原始数据变换到[0,1]的空间中。用公式表示就是：
新数值 =（原数值 - 极小值）/（极大值 - 极小值）。

2. Z-Score 规范化

假设 A 与 B 的考试成绩都为 80 分，A 的考卷满分是 100 分（及格 60 分），B 的考卷满分是 500 分（及格 300 分）。虽然两个人都考了 80 分，但是 A 的 80 分与 B 的 80 分代表完全不同的含义。
那么如何用相同的标准来比较 A 与 B 的成绩呢？Z-Score 就是用来可以解决这一问题的。
我们定义：新数值 =（原数值 - 均值）/ 标准差。
假设 A 所在的班级平均分为 80，标准差为 10。B 所在的班级平均分为 400，标准差为 100。那么 A 的新数值 =(80-80)/10=0，B 的新数值 =(80-400)/100=-3.2。
那么在 Z-Score 标准下，A 的成绩会比 B 的成绩好。
我们能看到 Z-Score 的优点是算法简单，不受数据量级影响，结果易于比较。不足在于，它需要数据整体的平均值和方差，而且结果没有实际意义，只是用于比较。

3. 小数定标规范化

小数定标规范化就是通过移动小数点的位置来进行规范化。小数点移动多少位取决于属性 A 的取值中的最大绝对值。
举个例子，比如属性 A 的取值范围是 -999 到 88，那么最大绝对值为 999，小数点就会移动 3 位，即新数值 = 原数值 /1000。那么 A 的取值范围就被规范化为 -0.999 到 0.088。
上面这三种是数值规范化中常用的几种方式。

Python 的 SciKit-Learn 库使用

SciKit-Learn 是 Python 的重要机器学习库，它帮我们封装了大量的机器学习算法，比如分类、聚类、回归、降维等。此外，它还包括了数据变换模块。
我现在来讲下如何使用 SciKit-Learn 进行数据规范化。

1. Min-max 规范化

我们可以让原始数据投射到指定的空间[min, max]，在 SciKit-Learn 里有个函数 MinMaxScaler 是专门做这个的，它允许我们给定一个最大值与最小值，然后将原数据投射到[min, max]中。默认情况下[min,max]是[0,1]，也就是把原始数据投放到[0,1]范围内。
我们来看下下面这个例子：

# coding:utf-8
from sklearn import preprocessing
import numpy as np
# 初始化数据，每一行表示一个样本，每一列表示一个特征
x = np.array([[ 0., -3.,  1.],[ 3.,  1.,  2.],[ 0.,  1., -1.]])
# 将数据进行[0,1]规范化
min_max_scaler = preprocessing.MinMaxScaler()
minmax_x = min_max_scaler.fit_transform(x)
print minmax_x

运行结果：

[[0.         0.         0.66666667][1.         1.         1.        ][0.         1.         0.        ]]

2. Z-Score 规范化

在 SciKit-Learn 库中使用 preprocessing.scale() 函数，可以直接将给定数据进行 Z-Score 规范化。

from sklearn import preprocessing
import numpy as np
# 初始化数据
x = np.array([[ 0., -3.,  1.],[ 3.,  1.,  2.],[ 0.,  1., -1.]])
# 将数据进行Z-Score规范化
scaled_x = preprocessing.scale(x)
print scaled_x

运行结果：

[[-0.70710678 -1.41421356  0.26726124][ 1.41421356  0.70710678  1.06904497][-0.70710678  0.70710678 -1.33630621]]

这个结果实际上就是将每行每列的值减去了平均值，再除以方差的结果。
我们看到 Z-Score 规范化将数据集进行了规范化，数值都符合均值为 0，方差为 1 的正态分布。

3. 小数定标规范化

我们需要用 NumPy 库来计算小数点的位数。NumPy 库我们之前提到过。
这里我们看下运行代码：

# coding:utf-8
from sklearn import preprocessing
import numpy as np
# 初始化数据
x = np.array([[ 0., -3.,  1.],[ 3.,  1.,  2.],[ 0.,  1., -1.]])
# 小数定标规范化
j = np.ceil(np.log10(np.max(abs(x))))
scaled_x = x/(10**j)
print scaled_x

运行结果：

[[ 0.  -0.3  0.1][ 0.3  0.1  0.2][ 0.   0.1 -0.1]]

数据挖掘中数据变换比算法选择更重要

在考试成绩中，我们都需要让数据满足一定的规律，达到规范性的要求，便于进行挖掘。这就是数据变换的作用。
如果不进行变换的话，要不就是维数过多，增加了计算的成本，要不就是数据过于集中，很难找到数据之间的特征。
在数据变换中，重点是如何将数值进行规范化，有三种常用的规范方法，分别是 Min-Max 规范化、Z-Score 规范化、小数定标规范化。其中 Z-Score 规范化可以直接将数据转化为正态分布的情况，当然不是所有自然界的数据都需要正态分布，我们也可以根据实际的情况进行设计，比如取对数 log，或者神经网络里采用的激励函数等。

在最后我给大家推荐了 Python 的 sklearn 库，它和 NumPy, Pandas 都是非常有名的 Python 库，在数据统计工作中起了很大的作用。SciKit-Learn 不仅可以用于数据变换，它还提供了分类、聚类、预测等数据挖掘算法的 API 封装。后面我会详细给你讲解这些算法，也会教你如何使用 SciKit-Learn 工具来完成数据挖掘算法的工作。
最后给你留道思考题吧，假设属性 income 的最小值和最大值分别是 5000 元和 58000 元。利用 Min-Max 规范化的方法将属性的值映射到 0 至 1 的范围内，那么属性 income 的 16000 元将被转化为多少？