由于篇幅有限，前一篇文章《离散分布的产生》中只讲述了用均匀分布产生离散分布的方法，那么本文接着讲如何利用均匀分布产生连续分布的方法。

连续分布

连续分布主要有以下几种：均匀分布伽马分布正态分布贝塔分布柯西分布对数正态分布双指数分布。

产生各种连续分布的方法有很多，我把它分为两类：通用方法、特殊方法。特殊方法就是根据各个连续分布的特性而特有的方法。

通用方法

通用方法指的是对于各种连续分布理论上都适用的方法。下面只讲解分布函数法、舍取法这两种通用的方法。

分布函数法

概率积分变换定理
设随机变量 $X$ 有连续累计分布函数 $F(x)$ ，令 $U=F(X)$ ，则 $U$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布。

由概率积分变换定理可知，如果知道一个连续分布函数的累计分布函数 $F(x)$ ，则可以求得随机变量： $X=F^{-1}(U)$ ，其中 $U$ 服从 $0到1$ 内的均匀分布。下面以指数分布来举例说明：
指数分布的累计分布函数 $F(x)$ 可以表示为：

F (x) = {1 - e - λ x, x \geq 0 0, x < 0

$F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {e^{ - \lambda x}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 0\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 3pt}x < 0 \end{array} \right.$
由于

U=F(X) $U=F(X)$ 服从

(0,1) $(0,1)$ 上的均匀分布，则随机变量：

X=F−1(U)=−Ln(1−U)λ $X=F^{-1}(U) = - \frac{{Ln\left( {1 - U} \right)}}{\lambda }$ 。因此只需要产生服从

(0,1) $(0,1)$ 上的均匀分布的

U $U$ ，就可以计算得到服从指数分布的随机变量X。

指数分布

%指数分布
%参数：到达率lambda
%mean=1/lamda,  var=1/lambda^2
clear all
close all
clc
lambda=1;%指数分布的产生lambda
n=10;%x的取值为0到无穷大，这里只取前n个%------------------------由内置函数直接给出-------------------------%%指数分布的产生，即事件发生的时间间隔x,x取值为0到正无穷
X=exprnd(1/lambda);%产生1均值为1/lamda的指数分布%指数分布的cdf
x=0:.1:n;
Fx=expcdf(x,1/lambda);
%figure
%plot(x,Fx,'-')
%title('指数分布的cdf')%指数分布的pdf
x=0:.1:n;
Px=exppdf(x,1/lambda);
figure
plot(x,Px,'r-')
hold on
title('指数分布的pdf')%-------------------------由均匀分布推导出（分布函数法）-------------------------%
N=1000;%样本点数
U=rand(1,N);%U服从均匀分布X2=-(log(1-U))/lambda;%X2服从指数分布，X2由分布函数法得到，对于不同的分布，分布函数不同，这里的表达式需作相应的改变！%下面的程序是绘制X2的概率密度函数pdf
Max=ceil(max(X2));
step=1;%步长
range=0:step:Max;for i=1:length(range)-1YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;%统计落在区间中的点数XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;
endplot(XX,YY,'bo')
hold on
title('指数分布的pdf')
legend('内置函数产生','分布函数法产生')

结果显示如下：(指数参数 $\lambda=1$ 的情况)
这里写图片描述

分布函数法的局限性：由于该方法的关键就是求出分布函数的反函数，从而得到随机变量 $X$ 关于均匀分布随机变量 $U$ 的表达式。然而有些分布是不容易求得其反函数的，例如我们常见的正态分布，其分布函数需要用其概率密度函数表示如下：

F (x) = 1 σ 2 π - - \sqrt \int x - \infty e - ( t - u ) 2 2 σ 2 d t

$F\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}\int_{ - \infty }^x {{e^{ - \frac{{{{\left( {t - u} \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}} dt$
其中，

u $u$ 和

σ $\sigma$ 分布为均值和标准差。显然，当得知

F(x) $F(x)$ 的取值时，也很难求得此时的

x $x$ 的值。因此，当出现上述问题时，我们可以采用舍去法。

舍去法

定理：设随机变量 $Y,V$ 的概率密度函数分布为 $f_{Y}(y)、f_{V}(v)$ ，其中， $f_{Y}(y)、f_{V}(v)$ 有相同的支撑集且

M = m a x {f Y (y) / f V (v)} < + \infty

$M =max\left\{f_{Y}(y)/f_{V}(v)\right\} < + \infty$
按下列步骤可以生成随机变量 $Y$ 服从概率密度为 $f_{Y}(y)$ 的分布：
1. 生成独立的随机变量 $U,V$ ，其中， $U$ 服从 $0$ 到 $1$ 的均匀分布, $V$ 服从概率密度函数为 $f_{V}(v)$ 的分布
2. 如果 $U <\frac{1}{M}f_{Y}(V)/f_{V}(V)$ ,则令 $Y=V$ ，否则返回到步骤1。

下面以用舍去法生成正态分布来具体说明：假设我们要用舍取法生成标准正态分布，标准正态分布的概率密度函数如下所示：

确定 $V$ 的分布
由舍取法的步骤2可知，生成的正态分布变量 $Y$ 的取值包含于随机变量 $V$ 的取值中。因此，我们需要根据正态分布随机变量的取值范围，来选择 $V$ 应该服从的分布！我们一般取 $V$ 服从均匀分布（当然也可以取其他的分布，注意需要满足取值范围）。
理论上，正态随机变量的取值在整个实数域中，因此 $V$ 应该服从区间为实数域的均匀分布，显然这个均匀分布我们很难表示出来。但由上图可知，标准正态分布的取值基本在 $-5$ 到 $5$ 之间，因此我们只需要使得 $V$ 服从区间在 $-5$ 到 $5$ 的均匀分布即可以很好的近似。

确定 $M$ 的大小
在公式 $M =max\left\{f_{Y}(y)/f_{V}(v)\right\}$ 中， ${f_V}\left( v\right) = \frac{1}{{10}}$ ， $max\left\{f_{Y}(y)\right\} =f_{Y}(0)=\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}$ 。因此 $M=\frac{10}{{\sqrt {2\pi } }}$

在确定了 $V$ 的分布以及 $M$ 的大小之后，便可以根据定理中步骤2的判决方法来生成服从指定分布的随机变量 $Y$ 。具体的程序实现如下：
%-------------------正态分布-----------------------% %参数：均值mu，方差sigma2 %mean=mu, var=sigma2 clear all close all clc mu=0; sigma2=1; n=10;%x的取值为正负无穷大， %-------------------由内置函数直接给出----------------% %正态分布的产生X X=normrnd(mu,sqrt(sigma2));%产生均值mu，方差sigma2的正态分布%正态分布的cdf x=0:.1:n; Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2)); % figure % plot(x,Fx,'-') % title('正态分布的cdf')%指数分布的pdf x=-5:.1:5; Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2)); figure plot(x,Px,'b-') hold on%------由舍选法推导出--------%N=100; A=-5;%A,B位均匀分布的取值区间 B=5;i=1; while(i<=N)U=unifrnd(0,1);%服从（0,1）的均匀分布V=unifrnd(A,B);%服从（A,B）的均匀分布M=1/sqrt(2*pi)*(B-A);%计算得到Mif(U<1/M*1/sqrt(2*pi*sigma2)*exp(-(V-mu)^2/2/sigma2));%由定理得到的公式来生成随机变量X2X2(i)=V;%X2就是我们要生成的指定分布的随机变量i=i+1;end end%下面的程序是计算通过舍去法生成的正态分布X2的pdf Max=ceil(max(X2)); step=1; range=A:step:B;for i=1:length(range)-1YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2; endplot(XX,YY,'ro') hold on title('正态分布的pdf') legend('内部函数产生','舍取法产生')
结果显示如下：

注意：使用这种方法的时候必须使 $V$ 服从合适的分布来保证 $M<+\infty$ ，如若找不到这样的分布，则可以参考Markov Chain Monte Carlo(MCMC)方法。

特殊方法

上述的两种通用方法基本上可以用均匀分布产生大多数连续分布，不过由于每种分布有着各自的特性，因此也可以通过特殊的方法来生成。下面以生成标准正态分布(正态分布性质表明：任何正态分布都可以由标准正态分布转化得到)为例：

中心极限定理法

中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明，大量相互独立的随机变量，其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。（摘自维基百科）
我们由中心极限定理可知，多个独立同分布的随机变量的和服从正态分布，而关于这个正态分布的均值和方差的确定，我们可以依据林德伯格－列维定理：
林德伯格－列维(Lindeberg-Levy)定理：
设随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ ，且具有有限的数学期望 $E\left( {{X_i}} \right) = u,D\left( {{X_i}} \right) = {\sigma ^2} = 0\left( {i = 1,2, \cdots ,n} \right)$ 。记 $\bar X = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} ,Y = \frac{{\bar X - u}}{{\sigma /\sqrt n }}$ ，则 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {Y < z} \right) = \Phi \left( z \right)$ ，其中 $\Phi\left( z \right)$ 是标准正态分布的分布函数。

在程序实现中，我利用 $10$ 个相互独立的服从区间 $-5到5$ 的均匀分布来生成标准正态分布 $Y$ 。而由公式可知，区间 $0到1$ 的均匀分布的均值为 $u=\frac{{ - 5 + 5}}{2}=0,\sigma^2=(5-(-5))^2/12=100/12$ .因此我们需要生成的服从标准正态的随机变量的表达式为： $Y = \frac{{\bar X - 0.5}}{{\sqrt {100/12}/\sqrt n }}$ 。具体程序实现如下：

%-------------------正态分布-----------------------% %参数：均值mu，方差sigma2 %mean=mu, var=sigma2 clear all close all clc mu=0; sigma2=1; n=10;%x的取值为正负无穷大， %------------------由内置函数直接给出--------------% %正态分布的产生X X=normrnd(mu,sqrt(sigma2));%产生均值mu，方差sigma2的正态分布%正态分布的cdf x=0:.1:n; Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2)); % figure % plot(x,Fx,'-') % title('正态分布的cdf')%指数分布的pdf x=-5:.1:5; Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2)); figure plot(x,Px,'b-') hold on %-------------------由中心极限定理推导出---------------------% N=1000;%样本点数 A=-5;%A,B位均匀分布的取值区间 B=5;for i=1:10 U(i,1:N)=unifrnd(A,B,1,N);%U存储10个独立的服从均匀分布的随机变量 end meanX=mean(U); X2=(meanX-(A+B)/2)/sqrt((B-A)^2/12)*sqrt(10);%由林德伯格－列维定理的公式知X2服从正态分布 mean(X2);%下面的程序是计算通过中心极限定理法生成的正态分布X2的pdf Max=ceil(max(X2)); step=1; range=A:step:B;for i=1:length(range)-1YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2; endplot(XX,YY,'ro') hold on title('正态分布的pdf') legend('内部函数产生','中心极限定理法产生')

显示结果如下：

Box-Muller法

基本思想：假设 $U,V$ 是两个相互独立的且服从区间在 $0到1$ 的均匀分布，并且随机变量 $X,Y$ 的表达式如下：

$X = - 2 lnU - - - - - - \sqrt cos (2 π V), Y = - 2 lnU - - - - - - \sqrt sin (2 π V)$ $X = \sqrt { - 2{\mathop{\rm lnU}\nolimits} } \cos \left( {2\pi V} \right),Y = \sqrt { - 2{\mathop{\rm lnU}\nolimits} } \sin \left( {2\pi V} \right)$
则 $X,Y$ 是相互独立的，并且服从标准正态分布。

具体的程序实现如下：

%-------------------正态分布-----------------------% %参数：均值mu，方差sigma2 %mean=mu, var=sigma2 clear all close all clc mu=0; sigma2=1; n=10;%x的取值为正负无穷大， %--------------------由内置函数直接给出----------------------% %正态分布的产生X X=normrnd(mu,sqrt(sigma2));%产生均值mu，方差sigma2的正态分布%正态分布的cdf x=0:.1:n; Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2)); % figure % plot(x,Fx,'-') % title('正态分布的cdf')%指数分布的pdf x=-5:.1:5; Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2)); figure plot(x,Px,'r-') hold on%-----------------------Box-Muller法-----------------------% N=1000; U=rand(1,N);%U,V都是服从(0,1)的均匀分布 V=rand(1,N); A=-5; B=5; R=sqrt(-2.*log(U)); theta=2*pi*V;X2=R.*cos(theta); Y2=R.*sin(theta);%X，Y都是服从n(0,1)的正态分布%下面的程序是计算通过Box-Muller法生成的正态分布X的pdf Max=ceil(max(X2)); step=1; range=A:step:B;for i=1:length(range)-1YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2; endplot(XX,YY,'bo') hold on title('正态分布的pdf') legend('内部函数产生','Box-Muller法产生')

显示结果如下：

上面我们是以正态分布为例来讲述了特殊法的运用，主要是运用了正态分布与其他分布的关系：多个独立同分布的随机变量和服从正态分布；均匀分布与正态分布之间满足Box-Muller法中的关系。因此，当想要由一种分布生成另一种分布的时候，只需要知道它们之间的关系即可！

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/45599011

作者：nineheadedbird