数学模型算法实现之排队论

article/2025/10/17 0:49:09

排队问题

https://wenku.baidu.com/view/475f68cb65ce0508763213a7.html 排队论详解

排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。它所要解决的主要问题是:在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的最少设备,使得在满足服务对象条件下，服务机构的花费最为经济,使服务系统效率最高。排队现象作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题形象地描述成顾客（如电话用户、发生故障的机床等）来到服务台前（如电话线路维修工人等)要求接待，如果“服务台”已被其他顾客占用，那么就得排队等待;另一方面服务台”也时而清闲，时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理论来进行计算，从而获得合理的解决办法。

排队模型：

系统运行状态参数（系统状态N(t)、系统状态概率）
系统运行指标参数----评价排队系统优劣（队长与排队长、逗留时间与等待时间）
其他指标（忙期、忙期服务量、损失率、服务强度 ）

%M/M/S排队模型
s=3;%服务台个数
mu=24;%单个服务台单位时间能服务的人数
lambda=54;%单位时间到达人数
ro=lambda/mu;
ros=ro/s;
sum1=0;for i=0:(s-1)sum1=sum1+ro.^i/factorial(i);
endsum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);p0=1/(sum1+sum2);
p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros);
Lq=p.*ros/(1-ros);
L=Lq+ro;
W=L/lambda;
Wq=Lq/lambda;
fprintf('排队等待的平均人数为%5.2f人\n',Lq)
fprintf('系统内的平均人数为%5.2f人\n',L)
fprintf('平均逗留时间为%5.2f分钟\n',W*60)
fprintf('平均等待时间为%5.2f分种\n',Wq*60)

%将排队过程图像化
clear 
clc 
%***************************************** 
%初始化顾客源 
%***************************************** 
%总仿真时间 
Total_time = 20; 
%队列最大长度 
N = 10000000000; 
%到达率与服务率 
lambda = 10; 
mu = 6; 
%平均到达时间与平均服务时间 
arr_mean = 1/lambda; 
ser_mean = 1/mu; 
arr_num = round(Total_time*lambda*2); 
events = []; 
%按负指数分布产生各顾客达到时间间隔 
events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); 
%各顾客的到达时刻等于时间间隔的累积和 
events(1,:) = cumsum(events(1,:)); 
%按负指数分布产生各顾客服务时间 
events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); 
%计算仿真顾客个数，即到达时刻在仿真时间内的顾客数 
len_sim = sum(events(1,:)<= Total_time); 
%***************************************** 
%计算第 1个顾客的信息 
%***************************************** 
%第 1个顾客进入系统后直接接受服务，无需等待 
events(3,1) = 0; 
%其离开时刻等于其到达时刻与服务时间之和 
events(4,1) = events(1,1)+events(2,1); 
%其肯定被系统接纳，此时系统内共有 
%1个顾客，故标志位置1 
events(5,1) = 1; 
%其进入系统后，系统内已有成员序号为 1 
member = [1]; 
for i = 2:arr_num 
%如果第 i个顾客的到达时间超过了仿真时间，则跳出循环 if events(1,i)>Total_time break; else 
number = sum(events(4,member) > events(1,i)); 
%如果系统已满，则系统拒绝第 i个顾客，其标志位置 0 
if number >= N+1 
events(5,i) = 0; 
%如果系统为空，则第 i个顾客直接接受服务 
else 
if number == 0 
%其等待时间为 02009.1516%PROGRAMLANGUAGEPROGRAMLANGUAGE
events(3,i) = 0; 
%其离开时刻等于到达时刻与服务时间之和 
events(4,i) = events(1,i)+events(2,i); 
%其标志位置 1 
events(5,i) = 1; 
member = [member,i]; 
%如果系统有顾客正在接受服务，且系统等待队列未满，则 第 i个顾客进入系统 else len_mem = length(member); 
%其等待时间等于队列中前一个顾客的离开时刻减去其到 达时刻 
events(3,i)=events(4,member(len_mem))-events(1,i); 
%其离开时刻等于队列中前一个顾客的离开时刻加上其服 
%务时间 
events(4,i)=events(4,member(len_mem))+events(2,i); 
%标识位表示其进入系统后，系统内共有的顾客数 
events(5,i) = number+1; 
member = [member,i]; 
end 
end end 
end 
%仿真结束时，进入系统的总顾客数 
len_mem = length(member); 
%***************************************** 
%输出结果 
%***************************************** 
%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的到达时刻和离 
%开时刻曲线图（stairs：绘制二维阶梯图） 
stairs([0 events(1,member)],0:len_mem); 
hold on; 
stairs([0 events(4,member)],0:len_mem,'.-r'); 
legend('到达时间 ','离开时间 '); 
hold off; 
grid on; 
%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的停留时间和等 
%待时间曲线图（plot：绘制二维线性图） 
figure; 
plot(1:len_mem,events(3,member),'r-*',1: len_mem,events(2,member)+events(3,member),'k-'); 
legend('等待时间 ','停留时间 '); 
grid on;