排队论模型（七）：排队系统的优化

article/2025/10/17 3:29:36

排队论模型（一）：基本概念、输入过程与服务时间的常用概率分布

排队论模型（二）：生灭过程、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

排队论模型（五）：有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

排队论模型（六）：非生灭过程排队模型、爱尔朗（Erlang）排队模型

排队论模型（七）：排队系统的优化

排队论模型（八）：Matlab 生成随机数、排队模型的计算机模拟

1. M / M /1模型中的最优服务率 μ

2 M / M / s 模型中的最优的服务台数

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问题。

在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等方法。

1. M / M /1模型中的最优服务率 μ

先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留费用之和的期望值，即

编写 LINGO 程序如下：

model:
s=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end

编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
state/1..3/:p;
endsets
lamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end

求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

2 M / M / s 模型中的最优的服务台数 $\large s^{*}$

例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验）时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最少？

求解的 LINGO 程序如下：

model:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
P_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
L_s=L_q+rho;
min=4*s+6*L_s;
@gin(s);@bnd(2,s,5);
end

排队论模型（一）：基本概念、输入过程与服务时间的常用概率分布

排队论模型（二）：生灭过程、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

排队论模型（五）：有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

排队论模型（六）：非生灭过程排队模型、爱尔朗（Erlang）排队模型

排队论模型（七）：排队系统的优化

排队论模型（八）：Matlab 生成随机数、排队模型的计算机模拟