@黎曼猜想是什么？
最近迈克尔· 阿提亚爵士证明了黎曼猜想的事情震惊了数学界，所以了解了一下黎曼猜想。
级数求和
欧拉研究过一个级数
E ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s E(s)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{s}} E(s)=∑n=1∞ns1
关于这个级数，当s>1时，级数收敛;当s<=1时，级数发散。
解析延拓
上面的E(s)在s<=1时无意义，但是我们可以对E(s)的定义域进行扩展得到一个新的函数L(s)。该新函数L(s)在s>1时与E(s)相等，在s<1时仍然有意义（即，任意给定一个s，有L(s)=有限值）。
如果使用随便一个方法对E(s)进行延拓，可能得到的新函数L(s)有无穷多种可能，因此有必要采用一套完善的方法来构造新函数，最好能对给定一个函数，延拓得到的新函数是唯一的。解析延拓是根据原函数的导数进行延拓的（因此需要原函数在定义域内处处可导），可以证明得到的结果是唯一的。
Zeta函数
黎曼对E(s)进行了解析延拓，扩展到了复数空间，得到了zeta函数
ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x ( s ≠ 1 , s ∈ C ) \zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}\int_{0}^{\infty }\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx(s\neq 1,s\in C) ζ(s)=Γ(s)1∫0∞ex−1xs−1dx(s̸=1,s∈C)
该函数有一些有趣的结果，比如
ζ ( − 1 ) = − 1 12 , ζ ( − 2 ) = 0 \zeta (-1)=-\frac{1}{12},\zeta (-2)=0 ζ(−1)=−121,ζ(−2)=0
因为这个结果，很多人得出了
E ( − 1 ) = 1 + 2 + 3 + . . . + ∞ = ζ ( − 1 ) = − 1 12 E(-1)=1+2+3+...+\infty =\zeta(-1)=-\frac{1}{12} E(−1)=1+2+3+...+∞=ζ(−1)=−121，
即全体自然数等于-1/12的结论。
第一个等式是不成立的，因为E(s)已经超出了收敛域，所以就不存在与zeta函数相等的说法了。
黎曼猜想
黎曼猜想描述的是 ζ ( s ) = 0 \zeta(s)=0 ζ(s)=0的解，
即求解
ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x = 0 \zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}\int_{0}^{\infty }\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx=0 ζ(s)=Γ(s)1∫0∞ex−1xs−1dx=0
该方程的解除了在负偶数上外，其他的点全在下面的蓝色区域内，称为临界带。
黎曼猜想：临界带内的解全都落在实部位1/2的线上。
（图片来源：Numberphile，https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo）
意义
ζ ( s ) = 0 \zeta(s)=0 ζ(s)=0的解与质数的分布有直接的关系，如通过该函数可以计算出两个数之间有多少个质数。
