最近学习了一下空间，线性空间，赋范空间，内积空间，欧氏空间和希尔伯特空间等的概念，整理了一下聊作笔记。
其实它们之间的关系用一张图片就可以说清楚：

需要说明的有：
1.八条性质，内积和范数等概念网上随处可见，此处不再赘述
2.完备化通俗的理解即为所在空间中数列累加的结果是否依旧在此空间
3.虚线代表了虽然没有人为地加入定义（长度，范数，完备等），但是由于下述关系的存在所导致的两空间之间的包含关系(虚线末端的空间是起始端空间的子集)：
（1）距离是范数的特殊形式 （通常意义上的距离也叫L2范数）
（2）范数是内积的特殊形式 （$\sqrt{<x,x>}$=||x||）
即：内积空间$\subset$线性赋范空间$\subset$度量空间
4.在黎曼空间中依旧有内积，距离和范数等定义，但由于空间中各点曲率不同，因此数学表达式会有变化。衡量黎曼空间曲率的工具为度规张量，反映这个空间中各个维度的“弯曲程度”。因此当度规张量为单位矩阵时，就认为此空间是“平直的”，非欧空间退化为欧式空间。

参考文献：
1.https://zhuanlan.zhihu.com/p/541226732
2.https://www.zhihu.com/question/332144499/answer/731866608