一、交叉熵损失函数（CE Loss，BCE Loss）

最开始理解交叉熵损失函数被自己搞的晕头转向的，最后发现是对随机变量的理解有偏差，不知道有没有读者和我有着一样的困惑，所以在本文开始之前，先介绍一下随机变量是啥。

什么是概率分布？
概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律。随机变量的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小 ，想象画在图上就是横坐标（自变量）是随机变量。根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。举个最简单的例子：抛一枚硬币，随机变量为抛硬币的结果，产生的结果的概率分布为：p（正面）=0.5，p（背面）=0.5

随机变量是什么？
随机变量是将随机试验的结果数量化，具有随机性的，注意是结果！！！在概率论中，概率质量函数（probability mass function，简写为pmf）是离散随机变量在各特定取值上的概率。一个概率质量函数的图像。函数的所有值必须非负，且总和为1。

如在抛50次硬币这个事件中，随机变量是指抛硬币获得正面的次数。不要把随机变量理解为试验的次数的取值！！！再拿二分类任务举个例子，二分类的随机变量就是看做0和1两个类别。二分类猫狗任务就相当于二项分布中的伯努利分布（试验次数为1时就叫伯努利分布，就相当于只丢一次硬币），因为去识别一张图片，最后试验的结果只能要么是猫要么是狗，这任务中的随机变量不是每一个训练样本（训练集中的每一张图片），而是分类的结果即猫or狗！在训练过程中，如果用交叉熵损失函数，假如p(x)是目标真实的分布，而q(x)是预测得来的分布。网络对每一个训练样本来讲，这张图片经过网络输出后得到的q(x)尽可能和这张图像的p(x)分布相等，x为类别的随机变量，x1为猫，x2为狗。如p(x1)=1，就是表示这张图片得到的x1这个类别的结果概率是1，所以由标签可知它的真实分布即p就是p(猫，狗)~(1,0)，从训练来讲就是让这张训练样本图片经过网络输出后，得到的q(x)去无限接近上面p(猫，狗)-(1,0)这个分布。 拟合分布就是让预测分布的参数不断接近分布的参数！如p就是伯努利分布中的参数。所谓的交叉熵的交叉就是指这两个分布之间的交叉，让两个分布越接近则交叉熵损失越小。

要充分理解交叉熵损失函数，首先要理解相对熵，又称互熵。设p(x)和q(x)是两个概率分布，相对熵用来表示两个概率分布的差异，当两个随机分布相同时，它们的相对熵为零，当两个随机分布的差别增大时，它们的相对熵也会增大。

而相对熵=交叉熵-信息熵！！！
由于在机器学习和深度学习中，样本和标签已知（即p已知，样本就是xi），那么信息熵H（p）相当于常量，此时，只需拟合交叉熵，使交叉熵拟合为0即可。关键点：所以最小化交叉熵损失函数就相当于使得交叉熵公式里的p和q这两个概率分布（指交叉熵公式里的那两个乘法因子）的差异最小！式子中的n就是随机变量的取值集合，在这里就是类别数，p(xi)就是事件X=xi的概率。
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信息熵（公式里的两个乘法因子都是指同一个分布的）：
信息熵则是在结果出来之前对可能产生的信息量的期望，信息量表示一条信息消除不确定性的程度，如中国目前的高铁技术世界第一，这个概率为1，这句话本身是确定的，没有消除任何不确定性。而中国的高铁技术将一直保持世界第一，这句话是个不确定事件，包含的信息量就比较大。信息量的大小和事件发生的概率成反比。信息熵越小就表示这个事件发生的概率越大，-logP就是信息量的公式（P表示事件发生的概率）。
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交叉熵（公式是针对一个样本的，公式里的两个乘法因子分别指两个分布，n为类别数）：

下面进入正题，也就是BCE Loss和CE Loss：

对于二分类交叉熵，下图的x1和x2是指两个类别，比如x1和x2分别代表猫和狗两类，p就是这个样本为猫的标签，这个标签可能是0也有可能是1；q就是这个样本被预测为猫的概率！
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下图给出了多分类问题（实现为F.cross_entropy）和二分类问题（实现为F.binary_cross_entropy）的交叉熵损失公式，下图中多分类问题中的公式是针对单个样本的，公式里的i表示每一个类别。而对于二分类问题的公式即BCE loss，公式里的i表示每一个样本，所以要注意区分！对于多分类问题即CE loss，假设真实标签的one-hot编码是：[0,0,…,1,…,0]，预测的softmax概率为[0.1,0.3,…,0.4,…,0.1]，那么Loss=-log(0.4)。对于二分类问题即BCE loss来说，每个样本就输出一个数字。
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需要注意的是，BCE loss在pytorch中实现多分类损失时，也就是通过多个二分类来实现多分类时，target要转换成one-hot形式（只能有1个元素为1，其余都为0）。如下图所示，下图就是一个用BCE loss实现6分类的例子，BCE loss就把这个问题当成6个二分类实现，因为一个目标只能是属于一个类别，所以可以转换成one-hot形式。然后对于用BCE loss处理多分类问题的情况，最后其实返回的是每个类别的二分类损失求和的平均值，所以真正返回的是：4.7938/6 = 0.7990
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二、Focal loss

Focal loss的本质：

首先给出原始二分类交叉熵的公式：

在二分类交叉熵损失的基础上，控制了正负样本的权重来解决了正负样本的不平衡，下图就是基于二分类交叉熵损失通过α来控制正负样本比例的例子，当α=0.5时，正负样本的比重是一样的。
在上面图中损失的基础上，增加控制“容易分类和难分类样本的权重”来解决难例挖掘的问题。
结合这两个方法，就是最终的二分类的Focal loss（如下图所示），最前面红框的第一项是最普通的交叉熵；第二项是控制正负样本平衡的α参数；第三项是控制难易分类样本的平衡，即对于正样本而言，预测分数越接近于1的表示这个样本越简单，那么这个样本应该对损失的影响越小：
同理，多分类的Focal loss（softmax）的公式如下图所示：

Focal loss的具体代码实现：

# 参考了：
# 1. https://github.com/clcarwin/focal_loss_pytorch/blob/master/focalloss.py
# 2. https://github.com/c0nn3r/RetinaNet/blob/master/focal_loss.pyimport torch
import torch.nn.functional as Fdef focal_loss(logits, labels, gamma=2, reduction="mean"):r"""focal loss for multi classification（简洁版实现）`https://arxiv.org/pdf/1708.02002.pdf`FL(p_t)=-alpha(1-p_t)^{gamma}ln(p_t)"""# 这段代码比较简洁，具体可以看作者是怎么定义的，或者看 focal_lossv1 版本的实现# 经测试，reduction 加不加结果都一样，但是为了保险，还是加上# logits是过激活函数前的值,reduction="none"就是不对loss进行求mean或者sum 保留每个样本的CE lossce_loss = F.cross_entropy(logits, labels, reduction="none")log_pt = -ce_losspt = torch.exp(log_pt)weights = (1 - pt) ** gammafl = weights * ce_lossif reduction == "sum":fl = fl.sum()elif reduction == "mean":fl = fl.mean()else:raise ValueError(f"reduction '{reduction}' is not valid")return fldef balanced_focal_loss(logits, labels, alpha=0.25, gamma=2, reduction="mean"):r"""带平衡因子的 focal loss，这里的 alpha 在多分类中应该是个向量，向量中的每个值代表类别的权重。但是为了简单起见，我们假设每个类一样，直接传 0.25。如果是长尾数据集，则应该自行构造 alpha 向量，同时改写 focal loss 函数。"""return alpha * focal_loss(logits, labels, gamma, reduction)def focal_lossv1(logits, labels, gamma=2):r"""focal loss for multi classification（第一版）FL(p_t)=-alpha(1-p_t)^{gamma}ln(p_t)"""# pt = F.softmax(logits, dim=-1)  # 直接调用可能会溢出#什么是softmax的溢出:https://blog.csdn.net/qq_35054151/article/details/125891745# 一个不会溢出的 tricklog_pt = F.log_softmax(logits, dim=-1)  # 这里相当于 CE loss#pt:tensor([[0.1617, 0.2182, 0.2946, 0.3255],#    [0.2455, 0.2010, 0.3314, 0.2221]])pt = torch.exp(log_pt)  # 通过 softmax 函数后打的分labels = labels.view(-1, 1)  # 多加一个维度，为使用 gather 函数做准备#.gather第一个参数表示根据哪个维度,第二个参数表示按照索引列表index从input中选取指定元素pt = pt.gather(1, labels)  # 从pt中挑选出真实值对应的 softmax 打分，也可以使用独热编码实现#pt,因为只有两个样本所以只有两项损失: tensor([[0.2182],#                                      [0.2221]])ce_loss = -torch.log(pt)weights = (1 - pt) ** gamma#对应元素相乘fl = weights * ce_loss#大家都是默认取均值而不是取sumfl = fl.mean()return flif __name__ == "__main__":#2个样本,4分类问题logits = torch.tensor([[0.3, 0.6, 0.9, 1], [0.6, 0.4, 0.9, 0.5]])labels = torch.tensor([1, 3])print(focal_loss(logits, labels))print(focal_loss(logits, labels, reduction="sum"))print(focal_lossv1(logits, labels))print(balanced_focal_loss(logits, labels))