核主成分分析方法（KPCA原理篇）

article/2025/9/10 19:52:37

（1）方法的基本思想是：对样本进行非线性变换，在变换空间进行主成分分析来实现在原空间的非线性主成分分析；

（2）算法步骤：

① 通过核函数计算矩阵K=\{ K_{ij}\}_{n \times n}，其元素为K_{ij}=k(x_i,x_j)。其中x_i和x_j为原空间的样本，k(\cdot,\cdot)是核函数。

② 计算K的特征值，并从大到小进行排列。找出由特征值对应的特征向量\alpha^l(表示第l个特征向量)，并对\alpha^l进行归一化(||\alpha^l||=1)。

③ 原始样本在第l个非主成分下的坐标为：

                                                                  Z^l(x)=\sum^n_{i=1}\alpha_i^lk(x_i,x)

这里的x_i是指第i个样本，\alpha^l的维度与样本数相同。如果选择m个非线性主成分(即计算K的前m大个特征值及相应的特征向量)，则样本x在前m个非线性主成分上的坐标就构成了样本在新空间中的表示[Z^1(x),Z^2(x),...,Z^m(x)]^T


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