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第十八章 Python 机器学习入门之强化学习
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前言
一、什么是贝尔曼方程
二、贝尔曼方程为什么有用
三、贝尔曼方程是怎么来的
总结
前言
贝尔曼方程是强化学习中最重要的一个方程式。如果可以计算状态S 的状态动作函数 Q(s,a)，那么它为我们提供了一种从每个场景中选择一个好的动作的方法。只需选择动作A，它会为什么提供Q(s,a) 的最大值。现在的问题是，如何计算Q(s,a)？在强化学习中，有一个称为贝尔曼方程(bellman equation) 可以帮助我们计算状态动作函数Q。
一、什么是贝尔曼方程
贝尔曼方程是强化学习中最重要的一个方程式。
如果可以计算状态S 的状态动作函数 Q(s,a)，那么它为我们提供了一种从每个场景中选择一个好的动作的方法。只需选择动作A，它会提供Q(s,a) 的最大值。
现在的问题是，如何计算Q(s,a)？
在强化学习中，有一个称为贝尔曼方程(bellman equation) 可以帮助我们计算状态动作函数Q。
下面我们来看看什么是贝尔曼方程bellman equation
我们使用s表示当前状态，R(s) 表示当前状态的奖励，对于我们的马尔科夫决策的例子，R(1)=100，R(2)=0，，，R(6)=40。
我们使用a 表示当前的动作，
使用s'表示采取该行动后所达到的状态
使用a’表示在状态s’下，可能采取的行动
使用上面定义的元素，我们可以得到贝尔曼方程，如图
二、贝尔曼方程为什么有用
让我们来看几个例子，看看为什么这个方程有用。
来看看状态2 的Q 和动作A，将贝尔曼方程应用于此，看看它给我们带来了什么价值。
如果当前状态S是状态2，并且动作A 是向右运行，采取该行动后所达到的状态s'=3,
这时候应用贝尔曼方程，带入公式，如图，确保Q(s', a')最大，所以下一步会向左运行，最后的结果为12.5.
如果当前状态S是状态4，并且动作A 是向左运行，采取该行动后所达到的状态s'=3,
这时候应用贝尔曼方程，带入公式，如图，确保Q(s', a')最大，所以下一步会向左运行，最后的结果为12.5.
如果我们处于终端状态，则贝尔曼方程会简化为 Q(s,a)=R(S)
三、贝尔曼方程是怎么来的
回顾一下状态动作函数Q的定义：如果你从某个状态 S 开始，并只采取行动 A 一次， 在采取行动 A 一次之后，你就会表现得最佳。
我们知道，任何状态S 的最佳可能回报是Q(s,a) 上的最大值，
同样，对于任何状态S ' 的最佳可能回报是Q(s',a') 上的最大值
联系贝尔曼方程，如果从状态s开始，我们将采取行动a，然后采取最佳行动，
然后我们会看到，随着时间的推移，一些奖励序列。特别的是，回报将从第一步的奖励中计算出来，
一直加到终端状态。
贝尔曼方程所说的是这个奖励序列，折扣因子是什么，这个可以分解成两个组成部分。
第一部分是R(S) 是我们马上得到的奖励，也被叫做即时奖励，也就是我们从某个状态开始获得的奖励；
第二部分是在我们从状态s 开始并采取行动a之后，我们会得到一些新的状态s'，Q(s',a')的定义就是假设我们将在此后表现最佳，在我们达到状态s' 后，我们将表现出最佳状态 并得到 状态的最佳回报。
其中max Q(s',a')就是从最优行动a' 中得到的回报，从状态s' 开始。
将上面的等式变化一下，我们就可以得到贝尔曼方程是怎么来的了。 
总结
总结一下，我们得到的总回报，在强化学习问题中有两个部分，第一部分是我们马上得到的奖励，然后第二部分是gamma γ 乘以我们从下一个状态开始获得的回报 Q(s',a')。这两部分组合在一起，即得到总回报，这就是贝尔曼方程的本质。
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