网格世界示例如下：
贝尔曼方程

在这个网格世界示例中，一旦智能体选择一个动作，
它始终沿着所选方向移动（而一般 MDP 则不同，智能体并非始终能够完全控制下个状态将是什么）
可以确切地预测奖励（而一般 MDP 则不同，奖励是从概率分布中随机抽取的）。
在这个简单示例中，我们发现任何状态的值可以计算为即时奖励和下个状态（折扣）值的和。
Alexis 提到，对于一般 MDP，我们需要使用期望值，因为通常即时奖励和下个状态无法准确地预测。的确，我们在之前的课程中发现，奖励和下个状态是根据 MDP 的一步动态特性选择的。在这种情况下，奖励 r和下个状态 s′ 是从（条件性）概率分布 p(s′,r∣s,a) 中抽取的，贝尔曼预期方程（对于 vπ）表示了任何状态 sss 对于_预期即时奖励和下个状态的预期_值的值：
vπ(s)=Eπ[Rt+1+γvπ(St+1)∣St=s]
计算预期值
如果智能体的策略 π 是确定性策略，智能体在状态 sss 选择动作 π(s)，贝尔曼预期方程可以重写为两个变量 (s′ 和 r) 的和：
vπ(s)=∑s′∈S+,r∈Rp(s′,r∣s,π(s))(r+γvπ(s′))
在这种情况下，我们将奖励和下个状态的折扣值之和 (r+γvπ(s′))与相应的概率 p(s′,r∣s,π(s)) 相乘，并将所有概率相加得出预期值。
如果智能体的策略 π 是随机性策略，智能体在状态 s 选择动作 a的概率是 π(a∣s)，贝尔曼预期方程可以重写为三个变量（s′、r 和 a）的和：
vπ(s)=∑s′∈S+,r∈R,a∈A(s)π(a∣s)p(s′,r∣s,a)(r+γvπ(s′))
在这种情况下，我们将奖励和下个状态的折扣值之和 (r+γvπ(s′)） 与相应的概率 π(a∣s)p(s′,r∣s,a) 相乘，并将所有概率相加得出预期值。