生日悖论是指，如果一个房间裡有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题， 在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。

对此悖论的解释

理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所提到的例子，23个人可以产生C(23,2)= 23 × 22/2 = 253 种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。

换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间裡的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。

概率估计

假設有 n 個人在同一房間內，如果要計算有兩個人在同一日出生的機率，在不考慮特殊因素的前提下，例如閏年、雙胞胎，假設一年365日出生概率是平均分佈的（現實生活中，出生機率不是平均分佈的）。

計算機率的方法是，首先找出p(n)表示 n 個人中，每個人的生日日期都不同的概率。假如n > 365，根據鴿巢原理其概率為0，假设 n ≤ 365，则概率为

因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365), 第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。用阶乘可以写成如下形式

p(n)表示 n个人中至少2人生日相同的概率

n≤365，根据鸽巢原理， n大于365时概率为1。

当 n=23发生的概率大约是0.507。其他数字的概率用上面的算法可以近似的得出来：

n	p(n)
10	12%
20	41%
30	70%
50	97%
100	99.99996%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	1 − (7 × 10−73)
350	1 − (3 × 10−131)
≥366	100%

注意所有人都是随机选出的:作为对比,q(n)表示房间中 n个其他人中与特定人（比如你）有相同生日的概率：

当n = 22时概率只有大约0.059,约高于十七分之一。如果n个人中有50％概率存在某人跟你有相同生日， n至少要达到253 。注意这个数字大大高于365/2 = 182.5: 究其原因是因为房间内可能有些人生日相同。

数学论证(非数字方法)

在 Paul Halmos 的自传中，他认为生日悖论仅通过数值上的计算来解释是一种悲哀。为此，Paul Halmos给出了一种概念数学方法的解释，下面就是这种方法（尽管这个方法包含一定的误差）。 乘积

}-

等于 1－p(n), 因此我们关注第一个n，使得乘积小于1/2，这样我们得到

}-

由平均数不等式得：

}-

(我们首先利用已知的1到n－1所有整数和等于 n(n－1)/2, 然后利用不等式不等式 1－x < e^−x.) 如果仅当

最后一个表达式的值会小于0.5。 其中"log_e"表示自然对数。这个数略微小于506，运气稍微好一点点就可以达到506，等于n²－n，我们就得到n＝23。

在推导中，Halmos写道:

这个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾经是一个绝妙的例子，用来演示纯思维是如何胜过机械计算：一两分钟就可以写出这些不等 式，而乘法运算则需要更多时间，并更易出错，无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。计算器不能提供的是理解力，或数学才能，或产生更高级、普适化理 论的坚实基础。

然而Halmos的推导只显示至少需要23人保证平等机会下的生日匹配；因为我们不知道给出的不等式有多清晰，因此n＝22能够正切的可能也无法确定。

泛化和逼近

生日悖论可以推广一下：假设有n 个,每一个人都随机地从1和特定的N个数中选择出来一个数(N可能是365或者其他的大于0的整数)。

p(n)表示有两个人选择了同样的数字，这个概率有多大?

下面的逼近公式可以回答这个问题

N＝365的结果

泛化

下面我们泛化生日问题: 给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数, 至少2个数字相同的概率p(n;d) 有多大?

类似的结果可以根据上面的推导得出。

}-

反算问题

反算问题可能是:

对于确定的概率 p ...

... 找出最大的 n( p)满足所有的概率 p( n)都小于给出的 p,或者

... 找出最小的 n( p) 满足所有的概率 p( n)都大于给定的 p。

对这个问题有如下逼近公式:

举例

逼近			估计N :=365
p	n 推广	n <N :=365	n↓	p(n↓)	n↑	p(n↑)
0.01	0.14178 √N	2.70864	2	0.00274	3	0.00820
0.05	0.32029 √N	6.11916	6	0.04046	7	0.05624
0.1	0.45904 √N	8.77002	8	0.07434	9	0.09462
0.2	0.66805 √N	12.76302	12	0.16702	13	0.19441
0.3	0.84460 √N	16.13607	16	0.28360	17	0.31501
0.5	1.17741 √N	22.49439	22	0.47570	23	0.50730
0.7	1.55176 √N	29.64625	29	0.68097	30	0.70632
0.8	1.79412 √N	34.27666	34	0.79532	35	0.81438
0.9	2.14597 √N	40.99862	40	0.89123	41	0.90315
0.95	2.44775 √N	46.76414	46	0.94825	47	0.95477
0.99	3.03485 √N	57.98081	57	0.99012	58	0.99166

注意:某些值被着色，说明逼近 不 总是正确。

经验性测试

生日悖论可以用计算机代码经验性模拟

days := 365;
numPeople := 1;
prob := 0.0;
while prob < 0.5 begin
    numPeople := numPeople + 1;
    prob := 1 - ((1-prob) * (days-(numPeople-1)) / days);
    print "Number of people: " + numPeople;
    print "Prob. of same birthday: " + prob;
end;

应用

生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2^N次而是只有2^N/2次。这一结论被应用到破解密码学散列函数的生日攻击中。

生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。

不平衡概率

就像上面提到的，真实世界的人口出生日期并不是平均分布的。这种非均衡生日概率问题也已经被解决。[Klamkin 1967]

近似匹配

此问题另外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才能找到2个人生日相同，相差1天，2天等的概率大于50％ 。这是个更难的问题需要用到容斥原理。结果(假设生日依然按照平均分布)正像在标准生日问题中那样令人吃惊:

2人生日相差k天	#需要的人数
0	23
1	14
2	11
3	9
4	8
5	7
7	6

只需要随机抽取6个人，找到两个人生日相差一周以内的概率就会超过50%。