生日悖论问题：
不考虑出生年份，问：一个房间中至少多少人，才能使其中两个人生日相同的概率达到50%?
解： 假设一年有 n 天，屋子中有 k 人，用整数 1, 2, …, k 对这些人进行编号。假定每个人的生日均匀分布于 n 天之中，且两个人的生日相互独立。
则，设 k 个人生日互不相同为事件A, 则事件 A 的概率为：
$$P(A)=\frac{n}{n}\ast \frac{n-1}{n}\ast ...\ast \frac{n-k+1}{n}$$
则，至少有两个人生日相同的概率为：
$$P(\overline{A})=1-P(A)=1-1\ast (1-\frac{1}{n})\ast ...\ast (1-\frac{k-1}{n})$$
由题意可知，令$P(\overline{A})\ge \frac{1}{2}$, 即令 $1\ast (1-\frac{1}{n})\ast ...\ast (1-\frac{k-1}{n})\le \frac{1}{2}$.
由不等式$1+x\le e^x$可得：
$$P(A)\le e^{-1/n}{e}^{-2/n}...e^{-(k-1)/n}=e^{-k(k-1)/2n}\le 1/2$$.
解得，当$k(k-1)\ge 2nln2$时，k 个人两个人生日相同的概率达到 50%, 代入 n = 365, 即至少23个人同出一屋，至少有两个人生日相同的概率达到1/2.

我的微信公众号