生日悖论及生日攻击

鸽巢原理：给定n个鸽巢，至少存在n+1只鸽子，那总是会发生碰撞。

概率环境：我们需要多少个物体（鸽子）使得发生碰撞的概率大于1/2？

答案是n^1/2，而不是n/2。

举个例子，想象一位老师问一个有30名学生的班级（n = 30）每个人的生日在哪一天（为简便，此处省略闰年）以确定是否有两个学生同一天生日（对应碰撞）。从直觉角度考虑，机率看起来很小。若老师选择特定日期（例如9月16日），则至少有一名学生在那天出生的几率是
，约为7.9%。但是，与我们的直觉相反的是，至少一名学生和另外任意一名学生有着相同生日的几率大约为70.63%（n = 30时），从方程
中可看出。

帮助理解：阮一峰 哈希碰撞与生日攻击

生日悖论界限

均匀随机地从N个物体抽取n个（可替换），确定碰撞的概率。

• 在N个对象中，可以构造N（N-1）/2对。
• 对于任意对，碰撞的概率为N^-1
• 假设相互独立，估计碰撞的平均此时等于：

$${\overline{n}}_{coll}\approx \frac{n(n-1)}{2N}$$

如果
$${\overline{n}}_{coll}=1$$
则
$$n\approx 2\sqrt{N}$$
当n << N^1/2，概率极小。相应的，当n = 0（N^1/2），碰撞的可能性不可忽略。

计算反向事件发生的概率，即从N个物体中抽取n个物体不发生碰撞的概率。
$$\prod _{i=0}^{n-1}\frac{N-i}{N}$$
由泰勒公式推导。（下图中花N对应上面N，下图N对应上述n）