正态分布

我们来对某一个年级做一项调查，看一看这个年级到底有多巨。于是，他们统计了每个同学一周刷题的时间。得到的结果如下：

可以看出，大多数人每周都有7-8个小时做题，有少部分蒟蒻(比如我)每周只有1-3个小时做题，而一些神犇(比如这位)每周有13-15个小时刷题。

整个图表大致上是轴对称的。中间最多，两边最少。这种分布图称为正态分布。

正态分布又称为高斯分布，他是由高斯发现的。正态分布也是最常见的概率分布。对于上面那个例子，我们统计足够多的人、将时间区间分的足够小之后，就可以画出他的概率密度曲线：

概率密度曲线一定满足$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)=1$$正态分布也不例外。

其实上面的例子并不是真正的正态分布，因为不存在负时间。但是，真正的正态分布的概率密度曲线可以向负无穷和正无穷无限延伸。图像以$x$轴为渐近线，也就是：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$$
我们的高斯给出了正态分布的数学表达式：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

通常我们用$N(\mu ,{\sigma }^2)$来表示正态分布。

其中$\mu$是数学期望，就是图像上的对称轴。在之前的例子中就是平均每个人每周能有多长时间做题。换句话说，图像关于$\mu$对称，$f(\mu +c)=f(\mu -c)$

$\sigma$是标准差，也就是图像上的"峰"陡峭程度。标准差越大，数据越分散，标准差越小，数据越集中。

正态分布满足期望、中位数和众数相同，都是对称轴。图像的最高点$f(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$

回忆一下初中地理的内容。年降水量其实就是服从了正态分布。

(随便找了个图贴上)

人的身高也近似是正态分布。

可以说，大多数概率分布都是正态分布。甚至连宇宙信号噪声这样看似随机的变量，如果你对每个时刻的每个值进行统计，它也是正态分布的。这样的噪声也沾上了高斯分布的荣光，故名高斯噪声。

在正态分布中，有这样一种特殊的正态分布。它不高不矮，不胖不瘦，不偏不倚。它，叫做，标准正态分布。

标准正态分布之所以标准，并不是因为大多数正态分布都是标准正态分布，而是他的概率密度函数图像就很标准。

标准正态分布的概率密度函数是$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

也就是$N(0,1)$。

标准正态分布图像关于$x=0$对称。任何正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$都可以通过线性变换变成标准正态分布。变换方法如下：

若$x\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$y=\frac{x-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

我们用$\phi$表示标准正态分布的概率密度曲线，$\Phi$表示概率分布曲线。

根据概率分布曲线的定义，若$x\sim N(0,1)$，则

$$P(a<x<b)=\Phi (b)-\Phi (a)$$

所以，若$x\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

$$P(a<x<b)=\Phi (\frac{b-\mu }{\sigma })-\Phi (\frac{a-\mu }{\sigma })$$

在最后，我说一下"$3\sigma$标准"

我们通过查表可以知道：

$$P(|x-\mu |<\sigma )\approx 0.6826$$
$$P(|x-\mu |<2\sigma )\approx 0.9544$$
$$P(|x-\mu |<3\sigma )\approx 0.9974$$

所以，$x$的取值几乎全集中在$(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$区间中，在这个区间外面的概率不到$0.3\%$