以下为两次dfs（bfs）的做法以及正确性证明。

算法步骤
（1）任取树上一点S，以S为源点BFS得S到各个顶点的d值；
（2）取d值最大者之一为P，再以P为源点BFS得P到各个顶点的d值；
（3）再取d值最大者之一为Q，PQ为树的其中一条直径。
算法的时间复杂度为两次BFS用时，即 $2O(V+E)$.

正确性证明：

假设AB为树的直径，且|AB|>|PQ|.
（1）若P为A或者B，则PQ=AB，|AB|=|PQ|，矛盾；
（2）若PQ与AB相交，设交点为C，如图

根据算法操作(2)，$|PQ|\ge |PA|,|PQ|\ge |PB|$,
减去公共部分得 $|CQ|\ge |CA|,|CQ|\ge |CB|$,
对于$|AQ|=|AC|+|CQ|\ge |AC|+|CB|=|AB|$,同理$|BQ|\ge |AB|$,
由于AB为直径，且$|AB|>|PQ|$,只能有$|CQ|=|CA|=|CB|>|CP|$,
将树视为以C为根的树，设A，B，Q，P所在子树为{A}，{B}，{Q}，{P}，
S点在{A}，{B}，{Q}，{P}其中之一，
根据算法操作(1)，$|SP|>|SA|$，S点只能在{A}；
$|SP|>|SB|$，S点只能在{B}；
$|SP|>|SQ|$，S点只能在{S}；
综上，不存在这样的S点，矛盾；
（3）若PQ与AB无交点，则设MN为两者联络线，如图

根据算法操作(2)，$|PQ|\ge |PA|,|PQ|\ge |PB|$,
减去公共部分得 $|NQ|\ge |NA|,|NQ|\ge |NB|$,
容易得 $|QM|=|NQ|+|MN|>|MA|$,
因此，$|BQ|=|BM|+|QM|>|BM|+|MA|=|AB|$，与AB为树的直径相矛盾；
综上所述，假设不成立，PQ为树的直径.

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以下为老师ppt上的证明：


反证法，假设v不是直径的一个端点。$\delta (u,x)\ge \delta (u,w)$的前提是不妨设路径$w\to u$和$x\to u$有公共点，取$w=v$，而这与算法步骤中$\delta (u,v)$最大相矛盾。

根据第一点图①不存在，这和我证明的第（3）点对应，但我否定了图①情况后并没有进一步推证$uv$和$xy$存在公共部分（不仅仅是我第（2）点提及只有一个交点）的情形。或者说我的证明分类讨论的对象是算法求解出的$PQ$和假设直径$AB$之间的关系，遗漏了该情形。从$\forall u$出发讨论更容易分类。