一、电路原理

以Razavi的带隙基准章节为例。右图中，M1和M2为NMOS，M3和M4为PMOS。其中两个NMOS宽长比相同。Rs的作用是确定电流。

图1. 带隙基准电路1

二、具体的公式推导

基于公式3：

$1. V_{sg4} -|V_{tp4}| = \sqrt \frac{2I_{ref}}{ \mu_{p} C_{ox} (\frac{W}{L})_{p4}}$

$2. V_{sg3} -|V_{tp3}| = \sqrt \frac{2I_{out}}{ \mu_{p} C_{ox} (\frac{W}{L})_{p3}}$

$3. V_{sg4} = V_{sg3} +V_{Rs}$

$4. |V_{tp4}| + \sqrt \frac{2I_{ref}}{ \mu_{p} C_{ox} (\frac{W}{L})_{p4}} = |V_{tp3}| + \sqrt \frac{2I_{out}}{ \mu_{p} C_{ox} (\frac{W}{L})_{p3}} + I_{out}R_{s}$

将公式4左右同时除以 $\sqrt I_{out}$ （不等于0），此时认为M4和M3的阈值电压相等，可以消掉|Vtp|。M3的宽长比是M4的N倍，并且认为Iref与Iout相等。可以推导出

$I_{out} = \frac{2}{\mu_{p} C_{ox} (\frac{W}{L})_{p4}} \frac{1}{R_s^{2}} (1 - \frac{1}{\sqrt K})^{2}$

K =2

Rs = 2k

W/L = 1um/40nm

$\mu C_{ox}$ 可通过工艺库或者仿真得出

三、计算

本文以beta0作为 $\mu C_{ox}$ 的值，

利用python进行计算：

from sympy import *
i_out = symbols('i_out')k = 2
Rs = 2000
um = 10^(-6)
nm = 10^(-9)w_to_l = 1*um/(40*nm)mu_p_cox = symbols('mu_p_cox')mu_p_cox_value = 17.64print(solve( ( (2/(mu_p_cox*w_to_l)) * (1/Rs**2) * (1 - 1/sqrt(k))**2 )/i_out -1, i_out))print(solve( ( (2/(mu_p_cox_value*w_to_l)) * (1/Rs**2) * (1 - 1/sqrt(k))**2 )/i_out -1, i_out))