1. 题目描述

设计一个三层神经网络解决手写数字的识别问题。
要求：
（1）三层神经网络如图：784-15-10结构
（2）使用随机梯度下降算法和MNIST训练数据。
http://yann.lecun.com/exdb/mnist/
在这里插入图片描述

2. 求解原理

（1）算法模型

利用BP神经网络，这里有输入层、隐藏层、输出层共三层，包括两个阶段，

第一阶段是输入信息的正向传播，其中隐藏层节点的输出为：

输出层节点的输出：
第二阶段是误差反向传播阶段
第p个样本的误差：

p个样本的总误差：

（2）算法原理

BP算法可以描述如下：
（1）工作信号正向传播：输入信号从输入层经隐藏层，传向输出层，在输出端产生输出信号，这是工作信号的正向传播。在信号的向前传递过程中网络的权值是固定不变的，每一层神经元的状态只影响下一层神经元的状态。如果在输出层不能得到期望的输出，则转入误差信号反向传播。正向传播的数学模型为：
在这里插入图片描述

其中n为样本数，w为权值，θ为偏置，

为激活函数，这里选择sigmoid函数为激活函数。
（2）误差信号反向传播：网络的实际输出与期望输出之间差值即为误差信号，误差信号由输出端开始逐层向前传播，这是误差信号的反向传播。在误差信号反向传播的过程中，网络的权值由误差反馈进行调节。通过权值的不断修正使网络的实际输出更接近期望输出。
在反向传播中，第p个样本的误差为：
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p个样本的总误差：

梯度为：

其中：

3.编程实现

（1）环境说明

python3.7
tensorflow2.1.0

（2）实验方案

数据来源：
手写数字图片数据集MNIST，它包含了0-9共10种数字的手写图片，每种数字一共7000张图片，采样自不同书写风格的真实手写图片，一共70000张图片，其中60000张图片作为训练集，用来训练模型，剩下的10000图片作为测试集，用来预测或者测试，训练集和测试集共同组成了MNIST数据集。
考虑到手写数字图片包含的信息比较简单，每张图片均被缩放到28 × 28的大小，同时
只保留了灰度信息。这些图片由真人书写，包含了如字体大小、书写风格、粗细等丰富的样式，确保这些图片的分布与真实的手写数字图片的分布尽可能的接近，从而保证了模型的泛化能力。
实验计划和流程：
（1）网络搭建。搭建784-15-10结构的神经网络，激活函数类型为 ReLU。
（2）模型训练。使用交叉熵作为损失函数。
验证和测试：
手写数字图片 MNIST 数据集的训练误差曲线如图所示，由于 3 层的神经网络表达能力较强，手写数字图片识别任务相对简单，误差值可以较快速、稳定地下降。其中，把对数据集的所有样本迭代一遍叫作一个Epoch，我们可以在间隔数个 Epoch 后测试模型的准确率等指标，方便监控模型的训练效果。
通过简单的 3 层神经网络，训练固定的 200 个 Epoch 后，我们在测试集上获得了91.59%的准确率。模型的训练误差曲线如图一所示，误差函数为交叉熵，其值越小，模型预测效果就越好。测试准确率曲线如图二所示。
如果使用复杂的神经网络模型，增加数据增强环节，精调网络超参数等技巧，可以获得更高的模型性能。
在这里插入图片描述

图一训练误差

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图二准确率

（3）Python实现

import tensorflow as tf  # 导入TF库
from tensorflow import keras  # 导入TF子库keras
from tensorflow.keras import layers, optimizers, datasets  # 导入Tf子库
import matplotlib.pyplot as pltdef preprocess(x, y):"""数据处理函数"""x = 2 * tf.cast(x, dtype=tf.float32) / 255. - 1  # tf.cast函数可以完成精度转换y = tf.cast(y, dtype=tf.int32)return x, y# load_data()函数返回两个元组（tuple）对象，第一个是训练集，第二个是测试集
# 每个tuple的第一个元素是多个训练图片数据的X,第二个元素是训练图片对应的类别数字Y
# 其中X的大小为（60000，28，28），代表了60000个样本，每个样本由28行、28列构成
# 由于是灰度图片，故没有RGB通道；训练集Y的大小为（60000），代表了这60000个样本的标签数字
# 每个样本标签用一个范围为0~9的数字表示。测试集X的大小为（10000，28，28）
(x, y), (x_test, y_test) = datasets.mnist.load_data()  # 加载MNIST数据集
print(x.shape, y.shape)
# TensorFlow中加载的MNIST数据图片，数值的范围为[0,255]。在机器学习中间，一般希望数据的范围
# 在0周围的小范围内分布。通过预处理步骤，我们把[0,255]像素范围归一化到[0,1.]区间,在缩放到
# [-1,1]区间，从而有利于模型的训练
# x = 2*tf.convert_to_tensor(x, dtype=tf.float32)/255.-1  # 转换为浮点张量，并缩放到-1~1
# y = tf.convert_to_tensor(y, dtype=tf.int32)  # 转换为整型张量# 处理训练数据
batch_size = 512
train_dataset = tf.data.Dataset.from_tensor_slices((x, y))  # 构建数据集对象
train_dataset = train_dataset.map(preprocess).shuffle(10000).batch(batch_size)  # 随机打散，批量训练# 处理测试数据
test_dataset = tf.data.Dataset.from_tensor_slices((x_test, y_test))
test_dataset = test_dataset.map(preprocess).batch(batch_size)# 使用TensorFlow的Sequential容器可以非常方便地搭建多层网络
# 利用Sequential容器封装3个网络层，前网络层的输出默认作为下一层的输入
model = keras.Sequential([  # 2个非线性层的嵌套模型layers.Dense(15, activation='relu'),  # 隐藏层1 ，15layers.Dense(10)])  # 输出层，输出节点为10
# w' = w - lr * grad, 更新网络参数
optimizer = optimizers.Adam(lr=1e-5)  # 优化器，加快训练速度
total_epoch = 200  # 迭代次数def main():loss_ce = 0.for epoch in range(total_epoch):for step, (x, y) in enumerate(train_dataset):# 模型训练with tf.GradientTape() as tape:  # 构建梯度记录环境# 打平操作，[b,28,28] => [b,784]x = tf.reshape(x, (-1, 28 * 28))# step1. 得到模型输出output [b, 784] => [b, 10]out = model(x)# [b] => [b, 10]y_onehot = tf.one_hot(y, depth=10)  # one-hot编码# 计算交叉熵 [b, 10]loss_ce = tf.reduce_mean(tf.losses.categorical_crossentropy(y_onehot, out, from_logits=True))# step3. 自动计算参数的梯度w1, w2, w3, b1, b2, b3grads = tape.gradient(loss_ce, model.trainable_variables)optimizer.apply_gradients(zip(grads, model.trainable_variables))if step % 100 == 0:print(epoch, step, f'loss_ce: {float(loss_ce)}')# testtotal_correct = 0total_num = 0for x, y in test_dataset:# x:[b,28,28] --> [b,784]# y:[b]x = tf.reshape(x, [-1, 28 * 28])# [b,10]out = model(x)# out --> prob [b,10]prob = tf.nn.softmax(out, axis=1)# [b,10] --> [b], int32pred = tf.argmax(prob, axis=1)pred = tf.cast(pred, dtype=tf.int32)# pred:[b]# y:[b]# correct: [b], True: equal; False: not equalcorrect = tf.equal(pred, y)correct = tf.reduce_sum(tf.cast(correct, dtype=tf.int32))total_correct += int(correct)total_num += x.shape[0]acc = total_correct / total_numprint(epoch, f'test acc: {acc}')if epoch % 10 == 0:epoch_plt.append(epoch)ce_plt.append(loss_ce)acc_plt.append(acc)return epoch_plt, ce_plt, acc_pltif __name__ == '__main__':epoch_plt, ce_plt, acc_plt = [], [], []epoch_plt, ce_plt, acc_plt = main()plt.figure()plt.plot(epoch_plt, ce_plt, color="yellow", marker='s')plt.xlabel('Epoch')plt.ylabel('CrossEntropy')plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 显示中文标签plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseplt.legend(('训练误差',))plt.figure()plt.plot(epoch_plt, acc_plt, color="red", marker='s')plt.xlabel('Epoch')plt.ylabel('Accuracy')plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 显示中文标签plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseplt.legend(('准确率',))plt.show()