一.多层前馈神经网络
首先说下多层前馈神经网络，BP算法，BP神经网络之间的关系。多层前馈[multilayer feed-forward]神经网络由一个输入层、一个或多个隐藏层和一个输出层组成，后向传播[BP]算法在多层前馈神经网络上面进行学习，采用BP算法的[多层]前馈神经网络被称为BP神经网络。给出一个多层前馈神经网络的拓扑结构，如下所示：

神经网络的拓扑结构包括：输入层的单元数、隐藏层数[如果多于一层]、每个隐藏层的单元数和输出层的单元数。神经网络可以用于分类[预测给定元组的类标号]和数值预测[预测连续值输出]等。

二.后向传播[BP]算法详解
1.初始值权重
神经网络的权重被初始化为小随机数，每个神经元都有一个相关联的偏置，同样也被初始化为小随机数。
2.前向传播输入
以单个神经网络单元为例，如下所示：

给定隐藏层或输出层的单元$j$，到单元$j$的净输入$I_j$，如下所示：
$$I_j=\sum _i{w}_{ij}{O}_i+{\theta }_j$$
其中，$w_{ij}$是由上一层的单元$i$到单元$j$的连接的权重；$O_i$是上一层的单元$i$的输出；${\theta }_j$是单元$j$的偏置。需要说明的是偏置充当阀值，用来改变单元的活性。
给定单元$j$的净输入$I_j$，单元$j$的输出$O_j$，如下所示：
$$O_j=\frac{1}{1+e^{-I_j}}$$
3.后向传播误差
[1]对于输出层单元$j$，误差$Er{r}_j$用下式计算：
$$Er{r}_j=O_j\left(1-O_j\right)\left(T_j-O_j\right)$$
其中，$O_j$是单元$j$的实际输出，而$T_j$是$j$给定训练元组的已知目标值。需要说明的是，$O_j\left(1-O_j\right)$是逻辑斯缔函数的导数。
[2]对于隐藏层单元$j$，它的误差用下式计算：
$$Er{r}_j=O_j\left(1-O_j\right)\sum _{k}Er{r}_k{w}_{jk}$$
其中，$w_{jk}$是由下一较高层中单元$k$到单元$j$的连接权重，而$Er{r}_j$是单元$k$的误差。
[3]权重更新，如下所示：
$$\begin{array}{l}\Delta w_{ij}=\left(l\right)Er{r}_j{O}_i\\ w_{ij}=w_{ij}+\Delta w_{ij}\end{array}$$
其中，$\Delta w_{ij}$是权重$w_{ij}$的改变量，变量$l$是学习率，通常取0.0和1.0之间的常数值。
[4]偏置更新，如下所示：
$$\begin{array}{l}\Delta {\theta }_j=\left(l\right)Er{r}_j\\ {\theta }_j={\theta }_j+\Delta {\theta }_j\end{array}$$
其中，$\Delta {\theta }_j$是${\theta }_j$的改变量。
[5]权重和偏置更新
如果每处理一个样本就更新权重和偏置，称为实例更新[case update]；如果处理完训练集中的所有元组之后再更新权重和偏置，称为周期更新[epoch update]。理论上，反向传播算法的数据推导使用周期更新，但是在实践中，实例更新通常产生更加准确的结果。
说明：误差反向传播的过程就是将误差分摊给各层所有单元，从而获得各层单元的误差信号，进而修正各单元的权值，即权值调整的过程。
4.终止条件
如果满足条件之一，就可以停止训练，如下所示：
[1]前一周期所有的都太小，小于某个指定的阀值。
[2]前一周期误分类的元组百分比小于某个阀值。
[3]超过预先指定的周期数。
实践中，权重收敛可能需要数十万个周期。神经网络的训练有很多的经验和技巧，比如可以使用一种称为模拟退火的技术，使神经网络确保收敛到全局最优。

三.用BP训练多层前馈神经网络
举个例子具体说明使用BP算法训练多层前馈神经网络的每个细节，如下所示：

设置学习率为0.9，第一个训练元组为 X = { 1 , 0 , 1 } X = \left\{ {1,0,1} \right\} X={1,0,1}，其类标号为1。神经网络的初始权重和偏置值如表1所示：

根据给定的元组，计算每个神经元的净输入和输出，如表2所示：

每个神经元的误差值如表3所示：

说明：从误差的计算过程来理解反向[BP]传播算法也许更加直观和容易。
权重和偏置的更新如表4所示：

说明：将该神经网络模型训练好后，就可以得到权重和偏执参数，进而做二分类。

四.用Python实现BP神经网络[3]
神经网络拓扑结构，如下所示：

解析：
1.第33和35行：l1和l2分别表示第1层和第2层神经元的输出。[第0层表示元组输入]
2.第37行：l2_error与相对应。
3.第40行：l2_delta与输出层误差相对应。
4.第42行：l1_error与相对应。
5.第43行：l1_delta与隐藏层误差相对应。
6.第45行：l1.T.dot(l2_delta)与相对应，而syn1与相对应。
7.第46行：l0.T.dot(l1_delta)与相对应，而syn0与相对应。
说明：一边代码，一边方程，做到代码与方程的映射。这是一个基础的三层BP神经网络，但是麻雀虽小五脏俱全。主要的不足有几点：没有考虑偏置；没有考虑学习率；没有考虑正则化；使用的是周期更新，而不是实例更新[一个样本]和批量更新[m个样本]。但是，足以理解前馈神经网络和BP算法的工作原理。神经网络和BP算法的详细数学推导参考[5]。

参考文献：
[1]数据挖掘：概念与技术[第三版]
[2]使用Python构造神经网络：http://www.ibm.com/developerworks/cn/linux/l-neurnet/
[3]一个11行Python代码实现的神经网络：http://python.jobbole.com/82758/
[4]用BP人工神经网络识别手写数字：http://blog.csdn.net/gzlaiyonghao/article/details/7109898
[5]反向传导算法：http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E5%8F%8D%E5%90%91%E4%BC%A0%E5%AF%BC%E7%AE%97%E6%B3%95