矩阵相关术语

共轭矩阵（Hermite阵）

当A = （a_{i,j)为复矩阵时，用 $\overline{a}$ 表示a的共轭复数，记 $\overline{A}$ = （ $\overline{aij}$ ）,则 $\overline{A}$ 为A的共轭矩阵。
埃尔米特矩阵是相对其主对角线以复共轭方式对称，且Hermite阵主对角线上的元素必须是实数，实对称阵是Hermite阵的特例。如：}

特征值

定义：设 A 是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量 x，使得 Ax=λx 成立，则称 λ 是矩阵A的一个特征值，x是矩阵A对应特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式。

性质

n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ₁，λ₂，…,λ_n(包括重根)：
若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
设λ₁，λ₂，…,λ_m是方阵A的互不相同的特征值。x_j是属于λ_i的特征向量( i=1,2,…,m)，则x₁,x₂,…,x_m线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关

特征值与特征向量的求法

利用| A-λE| = 0，求出特征值λ
根的维数一般是一维。即kξ(ξ为基础解系)，如果重根，则维数是特征根的重数，k₁ξ₁+k₂ξ₂+…

相似矩阵

设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。

性质

反身性：A~ A
对称性：若A~ B，则 B~ A
传递性：若A~ B，B~ C，则A~ C
若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B），两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同
若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。

A^H

A^H表示A（A是一个复矩阵）的共轭转置（对每个元素取共轭,然后对整个矩阵转置）.
如果A是实矩阵，A^H = A^T。

性质

x^H A^H = （Ax）^H

A^HA

定理：矩阵A_m,n,R(A) = r，则A^HA与AA^H的特征值都是非负实数，所以其所有特征的算术平方根为矩阵A的奇异值。

证明

x是n阶矩阵A^HA的对应于特征值λ的特征向量，可得A^HAx=λx，
x^HA^HAx = λx^Hx 即（Ax，Ax） = λ（x，x）
因为（Ax，Ax）>= 0,（x，x）>= 0，所以特征值λ>=0。

性质

m×n矩阵A的奇异值的个数等于列数n（因A^HA的阶数为n）
A的非零奇异值的个数等于rankA（因rank（A^HA）=rank（A））

酉矩阵

定义：若n阶复矩阵A满足A^HA=AA^H=E，则称A为酉矩阵。相对于实数矩阵，酉矩阵相当于正交矩阵，A^TA=AA^T=E

性质

A^H = A⁻¹(酉矩阵)
|A| = 1 行列式为1
充分条件是矩阵A的n个列向量是两两正交的单位向量。

酉相抵（正交相抵）

定理：酉相抵的矩阵有相同的奇异值。

证明

矩阵A_m,n和矩阵B_m,n，若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得A = UBV^H。由于U^H=U^-1，V^H=V^-1，所以可得：
A^HA = VB^HU^HUBV^H = V(B^HB)V^-1
所以可得 A^HA与B^HB是相似矩阵，即有相同的特征值。于是A与B有相同的奇异值。

什么是酉相抵？

矩阵A_m,n和矩阵B_m,n，若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得A = UBV^H，则称矩阵A与B酉相抵。

奇异值

奇异值是矩阵里的概念，一般通过奇异值分解定理求得。设A为m*n阶矩阵，q=min(m,n)，A*A的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。

奇异值分解式

矩阵A_m,n，rank(A) = r，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得：

其中Σ=diag（σ₁，σ ₂，…，σ_r），且σ ₁≥σ ₂≥…≥σ_r＞0，而σ_i（i=1，2，…，r）为矩阵A的正奇异值。

A的奇异值由A唯一确定，但酉矩阵U和V一般不唯一，故矩阵A的奇异值分解一般不是唯一的。

特征分解

对方阵 A 求取特征值和特征值对应的特征向量可以将方阵 A 进行特征分解为：

证明：假设方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 v1, v2, v3, … , vn，对应的特征值为 λ1, λ2, λ3, … , λn，令 V = ( v1, v2, v3, … , vn)

在进行特征分解时，一般将 V 的这 n 个特征向量标准化，即使得 V 中 n 个特征向量为标准正交基，满足：
V^T = V^-1 ，V^TV = I
所以方阵 A 的特征分解公式为:

奇异值分解

矩阵的特征分解要求矩阵必须为方阵，那么对于不是方阵的矩阵而言则可以使用 SVD 进行分解，假设 A 是一个 m * n 的矩阵，则存在一个分解使得：

其中 U 为左奇异值矩阵，Λ 为矩阵 A 奇异值，除了主对角线上的元素以外全为0，V 为右奇异值矩阵

求右奇异值矩阵

虽然矩阵 A 不是方阵，但是 A^TA 是一个 n * n 的方阵，于是对 A^TA 这个方阵进行特征值和特征向量计算则有：
A^TA = VΛV^T
上式的V也就是 SVD 公式中的 V 矩阵。

求左奇异值矩阵

类似的，通过计算 AA^T 方阵的特征值和特征向量可以得到 SVD 中的 U 矩阵。
AA^T = （UΛV^T）(UΛV^T)^T = UΛV^TVΛ^TU^T = UΛ²U^T
可以看到 AA ^T的特征向量就是 SVD 中的 U矩阵。

求奇异值

可以看到 A^TA 的特征向量就是 SVD 中的 V 矩阵，同时可以得到特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值 λ 和奇异值 σ 存在如下关系：

python代码实现

求右奇异值矩阵

import numpy as np
a = np.array([[1,0,1],[0,1,1],[0,0,0]],dtype = np.float)
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
w,v = np.linalg.eigh(a.T.dot(a))  #w特征值、v特征向量
w_index = np.argsort(w)[::-1]  #返回逆序后的下标
w = np.sort(w)[::-1]
v = v[:,w_index]   #正交矩阵V
v.T

array([[-0.4082, -0.4082, -0.8165],
[ 0.7071, -0.7071, 0. ],
[ 0.5774, 0.5774, -0.5774]])

求左奇异值矩阵

w,u = np.linalg.eigh(a.dot(a.T))  #w特征值、v特征向量
w_index = np.argsort(w)[::-1]  #返回逆序后的下标
w = np.sort(w)[::-1]
u = u[:,w_index]   #正交矩阵V
u

array([[ 0.7071, -0.7071, 0. ],
[ 0.7071, 0.7071, 0. ],
[ 0. , 0. , 1. ]])

求奇异值矩阵

w,u = np.linalg.eigh(a.dot(a.T))  #w特征值、v特征向量
w_index = np.argsort(w)[::-1]  #返回逆序后的下标
w = np.sort(w)[::-1]
np.diag(np.sqrt(w))

array([[1.7321, 0. , 0. ],
[0. , 1. , 0. ],
[0. , 0. , 0. ]])

验证结果 np.linalg.svd

np.linalg.svd(a)

(array([[ 0.7071, -0.7071, 0. ],
[ 0.7071, 0.7071, 0. ],
[ 0. , 0. , 1. ]]),
array([ 1.7321, 1. , -0. ]),
array([[ 0.4082, 0.4082, 0.8165],
[-0.7071, 0.7071, 0. ],
[ 0.5774, 0.5774, -0.5774]]))

利用Python进行SVD分解对图像压缩

import numpy as np
import os
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
A = Image.open("01.jpg", 'r') #(510, 320, 3)
a = np.array(A)
# 图片有RGB三原色组成，所以有三个矩阵
u_r, sigma_r, v_r = np.linalg.svd(a[:, :, 0])    # 奇异值分解 (510, 510) 、(320,) 、 (320, 320)
u_g, sigma_g, v_g = np.linalg.svd(a[:, :, 1])
u_b, sigma_b, v_b = np.linalg.svd(a[:, :, 2])
def restore(sigma, u, v, K):  # 奇异值、左特征向量、右特征向量m = len(u)  #高n = len(v[0])  #宽a = np.zeros((m, n))   #510, 320for k in range(K):uk = u[:, k].reshape(m, 1)  # 取矩阵U的第k+1列数据  (510,) 转为 （510，1）vk = v[k].reshape(1, n)    # 取矩阵V转置的第k+1行数据 （320，）转为  (1,320)a += sigma[k] * np.dot(uk, vk)   # 前 第k+1 个奇异值 ，且 k * U * Va = a.clip(0, 255)return np.rint(a).astype('uint8')# 仅使用前1个，2个，...，50个奇异值的结果
K = 20
j = 1
plt.figure(figsize=(15,8))
for k in range(1, K+1,2):R = restore(sigma_r, u_r, v_r, k)G = restore(sigma_g, u_g, v_g, k)B = restore(sigma_b, u_b, v_b, k)I = np.stack((R, G, B), axis=2)   # 将矩阵叠合在一起，生成图像i = Image.fromarray(I)plt.subplot(2,5,j)plt.imshow(i)plt.title('K ={} '.format(k))j +=1
plt.show()