奇异值分解(SVD)原理

article/2025/9/26 22:29:30

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

　　　我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

$Ax = \lambda x$ （a）

$Aw_{n} = \lambda_{n}w_{n}$ （b）

（a）式中，A是一个 $n\times n$ 的矩阵， $x$ 是一个 $n$ 维向量，则我们说 $\lambda$ 是矩阵A的一个特征值，而 $x$ 是矩阵A的特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量。（b）式中我们将矩阵A的多个特征值 $\lambda _{n}$ 与特征向量 $w_{n}$ 具体表示了出来，便于下面对SVD的理解。二式原理相同。

　　　　求出特征值和特征向量有什么好处呢？就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值λ1≤λ2≤...≤λn，以及这n个特征值所对应的特征向量{w1,w2,...wn}，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

$A=W\Sigma W^{-1}$

其中W是这 $n$ 个特征向量所张成的 $n\times n$ 维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的 $n\times n$ 维矩阵。

　　　一般我们会把W的这 $n$ 个特征向量标准化，即满足 $\left \| w_{i} \right \|_{2} = 1$ , 或者说 $w_{i}\times w_{i}^{T} =1$ ，此时W的 $n$ 个特征向量为标准正交基，满足 $W^{T}W = I$ ，即 $W^{T} = W^{-1}$ 也就是说W为酉矩阵，在实数矩阵中，酉矩阵指的是转置矩阵与逆矩阵相等的矩阵；在复数矩阵中，酉矩阵指的是共轭转置矩阵（矩阵中各元素实部不变，虚部相反数）与逆矩阵相等的矩阵。

　　　　这样我们的特征分解表达式可以写成:

$A=W\Sigma W^{T}$

　　　　注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

　　　　SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个 $m \times n$ 的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

$A=U\Sigma V^{T}$

　　　　其中U是一个 $m \times m$ 的矩阵，Σ是一个 $m \times n$ 的矩阵，是一个diag对角阵，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个 $n \times n$ 的矩阵。U和V都是酉矩阵。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

　　　　那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？

基本思路是，利用 $AA^{T}$ 的特征向量矩阵表示U矩阵，利用 $A^{T}A$ 的特征向量矩阵表示V矩阵，证明如下：

$A=U\Sigma V^{T}\rightarrow A^{T} = V\Sigma U^{T}$

$A^{T}A=V\Sigma U^{T} U\Sigma V^{T}$

因为 $U^{T}U = E$ ， $\Sigma \Sigma^{T}=\Sigma ^{2}$ 所以：

$A^{T}A=V\Sigma^{2} V^{T}$

根据特征分解的定义，可知矩阵V为 $A^{T}A$ 的特征向量矩阵，同理可求矩阵U