一，实验原理

N点序列的DFT和IDFT变换定义式如下：

利用旋转因子具有周期性，可以得到快速算法（FFT）。

在MATLAB中，可以用函数和计算N点序列的DFT正、反变换。

二，实验内容

1、实现2N点实数序列

N=64。用一个64点的复数FFT程序，一次算出，并绘出的图形。

N=64; 
n=0: N-1; 
n1=2*n;%n为偶数时
n2=2*n+1;%n为奇数时
n3=0:2*N-1;%信号的长度%拆分时间域信号为奇部和偶部（2n/2n+1）
xn1=cos (2*pi*7*n1/N)+1/2*cos (2*pi*19*n1/N);  %偶部
xn2=cos (2*pi*7*n2/N)+1/2*cos (2*pi*19*n2/N); %奇部
x1=fft(xn1);   %对偶部进行FFT变换
x2=fft(xn2);   %对奇部进行FFT变换
Xk1=x1+exp(-1j*pi*n/N).*x2;%
Xk2=x1-exp(-1j*pi*n/N).*x2;%
Xk1=[Xk1 zeros(1,64)];%
Xk2=[ zeros(1,64) Xk2];%
Xk=Xk1+Xk2;%将两部分拼起来
Xk=abs(Xk); %求取信号振幅
stem(n3,Xk);   %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率');
ylabel('振幅');
title('N=64时的|X(k)|');%绘图标题
grid on;%显示网格线

2、已知某序列在单位圆上的N=64等分样点的Z变换为:

。

用N点IFFT程序计算。

k=0:63;
N=64;
X=1./(1-0.8*exp(-j*2*pi*k/N));
xn=ifft(X,N);
subplot(2,1,1);%分屏
stem(k,real(xn));
xlabel('n');
ylabel('re');
subplot(2,1,2);%分屏
stem(k,imag(xn),'r');
xlabel('n');
ylabel('im');

3、周期为N的余弦序列：

X[n]=cos(2πn/N),N=20

1，求该序列N点FFT

N=20; 
n=0: N-1; 
xn=cos(2*pi*n/N);
x1=fft(xn);   
Xk=abs(x1); %求取信号振幅
stem(n,Xk);  
xlabel('频率');
ylabel('振幅');
title('N点时的|X(k)|');%绘图标题
grid on;%显示网格线

2，求该序列2N点FFT

N=20; 
n=0: 2*N-1; 
xn=cos(2*pi*n/N);
x1=fft(xn);   
Xk=abs(x1); %求取信号振幅
stem(n,Xk);   %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率');
ylabel('振幅');
title('2N点时的|X(k)|');%绘图标题
grid on;%显示网格线

3，求该序列N/2点FFT

N=20; 
n=0: N/2-1; 
xn=cos(2*pi*n/N);
x1=fft(xn);   
Xk=abs(x1); %求取信号振幅
stem(n,Xk);   %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率');
ylabel('振幅');
title('N/2点时的|X(k)|');%绘图标题
grid on;%显示网格线

4、用FFT实现有限长序列的线性卷积,给定两个序列x=[2,1,1,2],h=[1,-1,-1,1]

1，直接计算两个序列的线性卷积

h = [2,1,1,2]; 
x = [1,-1,-1,1]; 
y = conv(h,x);%conv函数执行两个向量的卷积
n = 0:6;
stem(n,y);%绘制散点图
xlabel('Time index n'); 
ylabel('Amplitude');
title('Output Obtained by Convolution'); 
grid;%显示坐标的网格线

2，用FFT实现序列的线性卷积

在使用FFT进行线性卷积时，需要补零，具体原理请参考：

MATLAB实现利用FFT和IFFT计算线性卷积_timerring的博客-CSDN博客_fft实现线性卷积

h = [2,1,1,2,0,0,0];
x = [1,-1,-1,1,0,0,0];
n=0:6;
Hn=fft(h);
Xn=fft(x);
Yn=Hn.*Xn;
y=ifft(Yn);
stem(n,y);%绘制散点图
xlabel('Time index n'); 
ylabel('Amplitude');
title('Output Obtained by Convolution');