利用插值基函数可以很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要。但存在以下问题：

1. 当插值节点增减时，计算要全部重新进行，甚为不便（当然现在我们有MATLAB，只需改变下参数便可）；
2. 存在高次插值的病态问题，也即龙格现象。
   关于龙格现象，李庆扬版《数值分析》课本中，列举了采用拉格朗日插值多项式对f(x)=$\frac{1}{1+x^2}$函数在[-5,5]上取n+1个点的插值问题。现探讨n=2~10（从二次函数到十次函数）时的插值病态现象。在n=2至10时，MATLAB计算代码如下

clc
clear
syms x0 x1 y x n x_para
x0=-5:0.1:5;
y=1./(1+x0.^2);for n=2:10k=0:n;  %k的范围从0到n,共n+1项x(k+1)=-5+10*k/n;  %从x（1）到x（n+1），共n+1项，即从第0点到第n点
for i=1:(n+1)  %共k+1项part_x(i)=(x_para-x(i));  %每个因式的组成，共k+1种
endw_x(n+1)=prod(part_x);  %求w（x）w_x_diff(n+1)=diff(w_x(n+1));for j=1:(n+1)w_x_diff(j)=subs(w_x_diff(n+1),x_para,x(j));ln_x(j)=(1/(1+x(j)^2)) * w_x(n+1) / ( (x_para-x(j))*(w_x_diff(j)) );
endLn_x=sum(ln_x);x_vector=-4.99:0.037:4.99;Ln_x=subs(Ln_x,x_para,x_vector);figureplot(x0,y)hold on  plot(x_vector,Ln_x)legend ('original function','n=x')ylabel('f(x) and Ln(x) '); 
end

可得出n=2至10时，原函数的曲线与拉格朗日多项式插值曲线对比如下：

由此可见，采用拉格朗日多项式插值时，Ln(x)不一定收敛于$f（x）$。

---