拉格朗日插值数学原理

给定平面上 $n + 1$ 个不同的数据点 $x_{k},f(x_{k}))$ ， $0,1,\cdots,n$ ， $x_{i} \neq x_{j}$ ， $\neq j$ ；则满足条件

$P_{n}\left( x_{k} \right) = f\left( x_{k} \right),\ \ k = 0,1,\cdots,n$

的 $n$ 次拉格朗日插值多项式

$P_{n}(x) = \sum_{k = 0}^{n}{f(x_{k})}l_{k}(x)$

是存在唯一的。若 $x_{k} \in \lbrack a,b\rbrack,k = 0,1,\cdots,n$ ，且函数 $f (x)$ 充分光滑，则当 $\in \lbrack a,b\rbrack$ 时，有误差估计式

$f\left( x \right) - P_{n}\left( x \right) = \frac{f^{\left( n + 1 \right)}\left( \xi \right)}{\left( n + 1 \right)!}\left( x - x_{0} \right)\left( x - x_{1} \right)\cdots\left( x - x_{n} \right),\ \ \xi \in \lbrack a,b\rbrack$

程序设计

核心代码

    double x, y = 0.0;scanf("%lf", &x);double a[N + 1], b[N + 1];int n = 0;while (scanf("%lf%lf", &a[n], &b[n]) >= 2) n++;n--;for (int k = 0; k <= n; k++) {double l = 1.0;for (int j = 0; j <= n; j++) {if (j != k) l *= (x - a[j]) / (a[k] - a[j]);}y += l * b[k];}printf("x = %.3lf\ny = %.3lf", x, y);

多个n多个x测试时怎么办呢？

作为真正的程序员！一定要会设计`框架`！！！！！！！

so 我设计了这么一个Lagrange测试框架只要修改参数即可！！！！

框架示例

可以修改：

n的数量
x的数量
最大的n值
若干n的值
若干x的值
左右区间值
插值点取值方法X()
y计算方法Y()

#include <cmath>
#include <cstdio>
#define N1 3   // n amount
#define N2 4   // x amount
#define N3 20  // n maxint Ns[N1] = {5, 10, 20};
double x[N2] = {-0.95, -0.05, 0.05, 0.95};
double l = -1.0;
double r = 1.0;double X(int k, int n) {double h = (r - l) / n;return l + k * h;
}double Y(double x) { return 1 / (1 + x * x); }int main() {for (int i = 0; i < N2; i++) printf("\tx=%.2lf", x[i]);printf("\n");for (int i = 0; i < N1; i++) {double a[N3 + 1], b[N3 + 1];int n = Ns[i];for (int k = 0; k <= n; k++) {a[k] = X(k, n);  // xb[k] = Y(a[k]);  // y}printf("n=%d", n);for (int p = 0; p < N2; p++) {double y = 0.0;for (int k = 0; k <= n; k++) {double l = 1.0;for (int j = 0; j <= n; j++) {if (j != k) l *= (x[p] - a[j]) / (a[k] - a[j]);}y += l * b[k];}printf("\t%.6lf", y);}printf("\n");}printf("Actual");for (int p = 0; p < N2; p++) printf("\t%.6lf", Y(x[p]));return 0;
}

输出
x=0.75 x=1.75 x=2.75 x=3.75 x=4.75
n=5 0.528974 0.373325 0.153733 -0.025954 -0.015738
n=10 0.678990 0.190580 0.215592 -0.231462 1.923631
n=20 0.636755 0.238446 0.080660 -0.447052 -39.952449
Actual 0.640000 0.246154 0.116788 0.066390 0.042440