拉格朗日多项式插值法

article/2025/9/21 21:30:55

在数值分析中，拉格朗日常用于多项式插值。假定提供一组数据点[xi,yi]，拉格朗日插值多项式就是由这些

数据的线性运算得到的。

其中基本的多项式有以下公式计算得到

注意

1.第一提供的xi应该是没有相同的，否则不能应用此算法

2.对于每一个xi，yi都只对应一个值

3.对于i~=j，lj（x）包括x-xi，因此，整个表达式的乘积将是0。

4.相反

5.因此yi*li（x）=yi，因此在每一个点xi，L（xi） = yi+0+0+........+0=yi，表明这个拉格朗日插值算法的正确性。

举例说明

x = [1 2 3 ] y = f(x)=[1 4 9]

则L(x) = 1*(x-2)*(x-3)/{(1-2)(1-3)}+4*(x-1)(x-3)/{(2-1)*(2-3)}+9(x-1)(x-2)/{(3-1)(3-2)}=x^2

下面看一下MATLAB的具体代码实现过程。

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 clear,clc;  
 x0 = linspace(-10,10,21);  
 y0 = x0.^2;  
 x = linspace(-20,20,100);  
 n = size(x0,2);  
 L = ones(n,size(x,2));  
 for ii = 1:n  
     for jj = 1:n  
         if(ii~=jj)  
             L(ii,:) = L(ii,:).*(x-x0(jj))./(x0(ii)-x0(jj));  
         end  
     end  
 end  
 y = 0;  
 for ii = 1:n  
     y = y +y0(ii).*L(ii,:);  
 end  
 y1 = x.^2;  
 plot(x,y1,'ro',x,y,'b*')  
 legend('source data','langrange')  
 title('langrange interplation vision')  