积分公式

令曲线$y=f(x)$绕$x$轴旋转，形成的旋转体，则其体积和表面积可以计算积分而得（假设体积和表面积一定存在，积分一定存在，这里不讨论数学问题）。
体积公式为：
$$V=\int \pi y^{2}dx$$
表面积公式为
$$S=\int 2\pi y\sqrt{1+{y^{\prime }}^2}dx$$
剩下的就是推导定积分公式。
##ZOJ3866 Cylinder Candy##
ZOJ3866，一个圆柱体半径为$r$mm，高度为$h$mm，外围包裹着$d$mm厚的涂层，求其表面积和体积。这个题目要精确到$10^{-8}$，推不出积分公式就不用做了。

整个部分最关键的就是四个边角的形状，四个边角合在一起恰好是一个圆环的外半侧。所以关键就是求圆环的外半侧的体积以及表面积。
曲线方程为：
$$y=r+\sqrt{d^2-x^2},x\in \left[-d,d\right]$$
则，体积积分为：
$$\begin{gathered} V=\pi \int (r^2+d^2-x^2+2r\sqrt{d^2-x^2})dx \\ =\pi \int (r^2+d^2)dx-\pi \int x^{2}dx+2\pi r\int \sqrt{d^2-x^2}dx \end{gathered}$$
第3项稍微麻烦一点，其不定积分为：
$$\int \sqrt{d^2-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{d^2-x^2}+\frac{d^2}{2}arcsin\frac{x}{d}+C$$
表面积公式首先要求$y$的导数：
$$y\prime =-\frac{x}{\sqrt{d^2-x^2}}$$
所以，
$$1+{y\prime }^2=\frac{d^2}{d^2-x^2}$$
表面积的积分为：
$$\begin{gathered} S=2\pi \int (r+\sqrt{d^2-x^2})\frac{d}{\sqrt{d^2-x^2}}dx \\ =2\pi rd\int \frac{1}{\sqrt{d^2-x^2}}dx+2\pi d\int dx \end{gathered}$$
第一项就是$arcsin\frac{x}{d}+C$。
所以，体积和表面积全部可以求出原函数的解析式。

然后把其他部分的圆柱体算上即可。

#include <cstdio>
#include <cmath>double const PI = acos(-1.0);
double const DELTA = 1E-6;
double R,H,D;double integral(){return (2.0*D*R*R+4.0*D*D*D/3.0+D*D*R*PI) * PI;
}double integral2(){return 4.0*PI*D*D + 2.0*PI*PI*R*D;
}int main(){int nofkase;scanf("%d",&nofkase);while( nofkase-- ){scanf("%lf%lf%lf",&R,&H,&D);double v = integral() + PI * ( R + D ) * ( R + D ) * H;double s = integral2() + 2.0 * PI * ( R + D ) * H + 2.0 * PI * R * R;printf("%.12lf %.12lf\n",v,s);}return 0;
}

##ZOJ3898 Stean##
ZOJ3898同样是旋转体的表面积和体积。曲线为：
$$y=2+cosx$$
不同点在于定积分公式中有一项是得不到解析式的。但是这道题很明显曲线是周期性函数，定积分的周期就是$\pi$，而题目要求在$10^{-2}$以内，所以取$ϵ$为$10^{-3}$或$10^{-4}$直接使用积分定义去计算。每次计算需要迭代的次数在几万次，应该是没有问题的。
体积积分：
$$\begin{gathered} V=\pi \int (2+cosx{)}^{2}dx \\ =4\pi \int dx+4\pi \int cosxdx \\ +\pi \int co{s}^{2}xdx \end{gathered}$$
其中第三项为：
$$\int co{s}^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}+C$$
表面积积分：
$$\begin{gathered} S=2\pi \int (2+cosx)\sqrt{1+si{n}^{2}x}dx \\ =4\pi \int \sqrt{1+si{n}^{2}x}dx \\ +2\pi \int \sqrt{1+si{n}^{2}x}dsinx \end{gathered}$$

其中第一项不知道积不积得出来，反正我没有积出来。数学不行，就用计算机的方法算。第二项令$t=sinx$，则
$$\int \sqrt{1+t^2}dt=\frac{1}{2}t\sqrt{1+t^2}+\frac{1}{2}\ln \left|t+\sqrt{1+t^2}\right|+C$$

#include <cstdio>
#include <cmath>double const PI = acos(-1.);
double const EPS = 1E-4;//计算一个周期
double init1p(){double ret = 0.0;for(double x=0.0;x<=0.5*PI;x+=EPS){double t = sin(x);ret += sqrt(1.0+t*t);}return 8.0*PI*ret*EPS;
}double const ONEP = init1p();double v(double z1,double z2){return 4.0 * PI * ( z2 - z1 )+ 4.0 * PI * ( sin(z2) - sin(z1) )+ 0.5 * PI * ( z2 - z1 )+ 0.25 * PI * ( sin(z2+z2) - sin(z1+z1) );
}double s(double z1,double z2){//计算底面积double y1 = 2.0 + cos(z1);double ret = PI * y1 * y1;//计算解析式的积分double t2 = sin(z2), t1 = sin(z1);double tt2 = sqrt(1.0+t2*t2), tt1 = sqrt(1.0+t1*t1);ret += PI * ( t2 * tt2 - t1 * tt1 )+ PI * ( log(fabs(t2+tt2)) - log(fabs(t1+tt1)) );//计算周期int n = (int)(( z2 - z1 ) / PI);ret += ONEP * (double)n;//计算积分double tmp = 0.0;for(double x=z1+PI*(double)n;x<=z2;x+=EPS){double t = sin(x);tmp += sqrt(1.0+t*t);}return ret += tmp * 4.0 * PI * EPS;
}int main(){int kase;scanf("%d",&kase);while(kase--){double z1,z2;scanf("%lf%lf",&z1,&z2);printf("%.5lf %.5lf\n",v(z1,z2),s(z1,z2));}return 0;
}