（旋转体体积的计算）利用元素法简单解答空间几何体问题——高等数学

article/2025/10/25 16:37:00

相信很多人初学的时候和我一样对这种三维空间的几何体计算方面有困难。我也曾百度过关于几何体体积/表面积的求法，但是始终不是很明白百度上的那种方法。这篇文章让你彻底理解这个万能的几何思想：“元素法”

结合配图和图旁解释说明学习，请细品

首先告诉大家：dx，dy，dz，ds，不管d什么，都是极小的微分元素，可以说取极限趋近于0

注意：下面所有图里面画的蓝线都是我取的一个极小的几乎没有宽度的元素条！

文章目录

  • 元素法的思想（三步走）
  • 一、求平面图形的面积
  • 二、求旋转体的体积
    • 2.1 绕x轴旋转
    • 2.2 绕y轴旋转
    • 2.3 绕z轴旋转
    • 2.4 截口面积已知的几何体体积
  • 三、弧长
  • 四、空间曲面的面积(表面积)
  • 五、古尔丁定理
  • 六、定积分物理应用

元素法的思想（三步走）

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具体思路如图所示
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求体积和表面积的方法同理（下面会详细说明）。所谓实践得结论，接下来就为大家举举例子

一、求平面图形的面积

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二、求旋转体的体积

2.1 绕x轴旋转

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2.2 绕y轴旋转

这也是我们常常听到的柱壳法公式的由来。看我卷的那张纸，像不像一个柱子外面的壳？

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2.3 绕z轴旋转

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2.4 截口面积已知的几何体体积

如图所示，切面是一个几乎没有高度的圆柱体
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几何体体积的切片法是同样的思想，只不过是取的一层一层的体积叠起来。类似于上图这种切法，只不过上图是把面积一片一片叠起来。
这样说来，感觉二重积分取投影的方法也类似哈，就看自己怎么理解了。

三、弧长

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(下面这道题属于第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)的计算，因为思想和2)是一样的，所以我先提一下)
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四、空间曲面的面积(表面积)

ds即弧长，因为求的表面积，所以很多小段的弧长堆起来就成了外表层了
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五、古尔丁定理

［考研数学］古尔丁定理 一类旋转体体积及表面积问题


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六、定积分物理应用

［考研数学］定积分物理应用 秒杀！！ 4道例题讲解


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