一、标准Hough线变换(SHT)

1.1 原理

标准Hough变换（standard hough transform）
图像平面中的一条直线可以通过斜截式y = ax+b来表示，即可以化为a-b平面中的一个点，但是因为斜率的区间为-∞到+∞变化，当直线接近竖直时，此时在a-b平面中是难以表示的，因此通过极坐标形式能够更加方便地表示。

如图（A）所示，在图像平面中，一个点可以通过横纵坐标来表示；而图像平面中的一条直线可以通过距离原点的距离ρ，以及垂线的角度θ来表示，将其转换到θ-ρ平面中如（C）所示，即图像平面中的一条直线可由θ-ρ平面中的一个点表示。因此图像平面中的一个点可以由穿过它的直线族在θ-ρ平面中对应的点组成的曲线来表示。如（C）所示，虚线对应（B）中的直线1，2，3，4的交叉点。可以得到在θ-ρ平面中两条曲线的交点即为图像平面中的两个点共线的一条直线。

1.2 SHT步骤

因此标准霍夫线变换的步骤就很明了了：
① 首先对图片img进行边缘检测得到二值边缘图像edge_img
② 对于edge_img中的每个非0点都转换为θ-ρ平面中的一条曲线
转换方法如下：
对于图像平面中的一个非0点（x0，y0），使θ由0向2π变化，分别通过下式计算所对应的ρ值，

可以得到一系列点，这些点组成点(x0，y0)在θ-ρ平面中对应的曲线。
③ 在θ-ρ中进行对所有结果进行累加，则图像平面中的直线将显示为θ-ρ平面中的局部极大值。
④ 根据所设定的阈值对局部极大值进行筛选，得到最终的结果

1.3 缺点

标准霍夫线变换(SHT)是不能提取出线的端点的，并且耗时较长


OpenCV函数原型

//函数HoughLines的原型为：
void HoughLines(
InputArray image, //输入图像，要求是单通道的二值图像
OutputArray lines, //输出直线向量，两个元素的向量（ρ，θ）代表一条直线，原点为图像左上角 
double rho,  //距离分辨率，单位为像素
double theta,  //角度分辨率，单位为弧度
int threshold,  // 阈值，用于筛选p-θ平面的极大值，实际指明了返回的直线至少包含的点的数量
double srn=0， // srn与stn是用于多尺度Hough变换(MHT)的参数，与标准hough变换无关
,double stn=0)
//其中rho和theta两个分辨率参数的作用还没仔细研究

多尺度hough变换(MHT)是对SHT的细化，精度更高（是通过srn，stn这两个参数对标准huogh变换的结果进行精确化）

二、渐进概率Hough变换(PPHT)

2.1 原理及步骤

渐进概率Hough变换（Progressive Probabilistic Hough Transform）是对SHT的改进，能够极大的减少计算时间，并且能够计算出直线的端点：
其主要原理是：在Edge图像中随机选择像素，将这些像素点按照SHT中的方法转换到累加平面(p-θ)。 当在累加平面中可以通过阈值筛选出一条直线时，沿该条直线搜索Edge图像，以查看是否存在一个或多个有限长度的线。然后在该直线的所有像素被从Edge图像中除去。通过这种方式，算法返回有限长度的直线。

该算法可以概括如下：
①创建输入边 Edge 图像（IMG1）的副本（IMG2）。
②用从 IMG2 随机选择的像素更新累加器。
③从 IMG2 中删除像素。
④如果修改的累加器（BINX）中具有最大值的较低阈值，转到第1点。
⑤沿着由BINX指定的线在 IMG1 中搜索，找到连续或间隙不超过给定阈值的间隔的最长像素段。
⑥从 IMG2 中删除段中的像素，清除BINX。
⑦如果检测到的线段比给定的最小长度长，请将其添加到输出列表中。
⑧转到第2点

2.2 缺点

该算法的一个问题是，多次运行可能会产生不同的结果。 如果许多直线共享像素，则会出现这种情况。如果两条线交叉，要检测的第一条线将去除公共像素（以及其周围的部分），从而导致另一条线上出现凹陷。 如果多条线交叉，则许多像素可能会错过最后一行，并且累加器中的投票可能无法达到阈值。

OpenCV函数：

void HoughLinesP(
InputArray image, //输入图像，要求是单通道的二值图像
OutputArray lines, //输出直线向量，为四通道向量，分别是线段的两个端点的坐标：（x0,y0,x1,y1） 
double rho,  //距离分辨率，单位为像素
double theta,  //角度分辨率，单位为弧度
int threshold,  // 阈值，用于筛选p-θ平面的极大值，实际指明了返回的直线至少包含的点的数量
double minLineLength=0， // 线段长度阈值
,double maxLineGap=0   //线段之间的间隔阈值)

三、Hough圆变换

3.1 原理及步骤

Hough圆变换的原理与前文的Hough线变换相似，Hough线变换是在p-θ平面中不断累加，最后寻找极大值点，Hough圆变换也可以通过类似的方式寻找，需要在三维空间中累加体积，三维分别是圆心的横坐标、纵坐标、半径，但是这样时间复杂度和空间复杂度会非常大，所以实际实现时没有采用这种方法。OpenCV中的Hough圆变换是通过Hough梯度法实现的。

首先看一张图：

可以看到圆上的每一个点（橙色点）都存在一条线(蓝色虚线)相交于圆心(红点)，而这些线就是各个点的梯度方向(蓝色箭头)所在的直线。圆心是它们的交点，这就与Hough线变换中的累加平面非常相似了，此时将所有直线都累加起来，圆心就是一个局部极大值点！

所以Hough圆变换就可以通过下面的方法实现了：
① 同样的，首先对图像进行边缘检测，得到edge_img；
② 对edge_img中的每一个非0点计算局部梯度（可以通过Sobel算子计算）
③ 沿着每个点的梯度所在的直线在累加平面中进行累加，同时记录非0点的位置
④ 根据阈值选取累加平面中的局部极大值点作为候选圆心
⑤ 对于每个圆心都有一个与它相关的非0点的列表（步骤③中记录的），计算这些非0点与该圆心的距离，从中选取出最优值作为半径
⑥ 如果有足够数量的点构成圆且该圆心与其它圆心间距超过阈值，就保留这个圆
⑦ 最终就能够得到检测结果

3.2 缺点

①累加器阈值过低时速度会非常慢，因为需要考虑每个非0点
②对每个圆心只能选一个圆，同心圆时只能检测到一个
③Sobel计算的是局部梯度，所以会出现噪音，稳定性略低

OpenCV函数：

//HoughCircles中调用了Canny函数，因此不需要另外对图像进行边缘检测
void HoughCircles(
InputArray image, //输入图像,要求是8位图像，即灰度图，因为需要计算梯度，使用灰度图更精准，与HoughLines中要求二值图像不同
OutputArray circles, //输出，为矩阵或者向量，矩阵的话就是F32C3的数组，三个通道分别为圆心坐标和半径；向量的话就是vector<Vec3f>类型 
int method,  //实际设置为cv::HOUGH_GRADIENT
double dp,  //累加图像的分辨率，需要大于等于1
double minDist,  // 圆之间的最小距离阈值
double param1=100， //用于Canny中的高阈值，Canny的低阈值设为它的一半
double param2=100   //累加器阈值，与HoughLines中的threshold类似
int minRadius = 0,		//最小半径阈值
int maxRadius = 0		//最大半径阈值
)

四、实验代码

void hough_test()
{Mat src = imread("../Images/10.jpg");if (src.empty()) { cout << "read the image failed!!!!!!" << endl;}//读入灰度图，用于hough圆变换检测Mat src_circles = imread("../Images/11.jpg");Mat src_circles_gray;cv::cvtColor(src_circles, src_circles_gray, cv::COLOR_BGR2GRAY);Mat src_PPHT;src.copyTo(src_PPHT);Mat edge_img;vector<Vec2f> hough_lines;vector<Vec4f> hough_P_lines;vector<Vec3f> hough_circles;//图像的宽和高int w = src.cols;int h = src.rows;//Canny滤波Canny(src, edge_img, 50, 150);//SHT 标准hough线变换HoughLines(edge_img, hough_lines, 1, CV_PI/180, 130);//PPHT 渐进hough线变换HoughLinesP(edge_img, hough_P_lines, 1, CV_PI / 180, 130, 20, 100);//Hough圆变换HoughCircles(src_circles_gray, hough_circles, cv::HOUGH_GRADIENT, 2, 50, 100, 100, 10, 300);//在原图上绘制SHT检测出的直线for (auto& line_iter : hough_lines){float rho = line_iter[0];float theta = line_iter[1];Point point1, point2;point1.x = rho*cos(theta) + w*sin(theta);point1.y = rho*sin(theta) - w*cos(theta);point2.x = rho*cos(theta) - w*sin(theta);point2.y = rho*sin(theta) + w*cos(theta);line(src, point1, point2, Scalar(0, 255, 0), 2,8);}//绘制PPHT检测到的直线for (auto& line_iter : hough_P_lines){line(src_PPHT, Point(line_iter[0], line_iter[1]), Point(line_iter[2], line_iter[3]),Scalar(0,0,255),2,8);}//绘制Hough圆变换检测到的圆for (auto& circles : hough_circles){circle(src_circles, Point(circles[0], circles[1]), circles[2], Scalar(0,0,255), 2);}namedWindow("src_SHT", WINDOW_NORMAL);imshow("src_SHT", src);namedWindow("src_PPHT", WINDOW_NORMAL);imshow("src_PPHT", src_PPHT);namedWindow("edge_img", WINDOW_NORMAL);imshow("edge_img", edge_img);namedWindow("circles_img", WINDOW_NORMAL);imshow("circles_img", src_circles);waitKey(0);
}

实验结果如图：

参考资料：
《学习OpenCV3》
https://sikasjc.github.io/2018/04/20/Hough/
https://blog.csdn.net/qq_37059483/article/details/77891698


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